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'角平分线上的点到这个角两边距离相等'是角平分线一个简单而又重要的性质定理．运用用个性质定理可以解决许多具有一定难度的几何题． 例 如图1，已知△ABC中，AB>AC，∠BAC的外角平分线交外接圆于点D，过点D作DF⊥AB于F． 求证：AB-AC=2AF． 分析：此题曾经是全国初中数学联赛试题，初看似有一定的难度，但如果善于联想，问题解决并不难． 首先注意到D是角平分线上的点，DF⊥AB，联想到定理：角平分线上的点到这个角两边距离相等．为了利用这个定理，作DE⊥直线CA，交CA延长线于点E，则DE=DF(如图2)． 再考虑到点A、B、C、D四点都在圆上，所以连接BD，可得圆内接四边形ACBD，从而可利用'圆内接四边形外角等于它的内对角'，得∠DAE=∠DBC． 因为∠DAE=∠DAB， 所以∠DAB=∠DBC，所以弧BD=弧CD，因此，连接DC，可得BD=DC． 注意到△BDF与△CDE中，BD=CD，DF=DE， 根据'斜边直角边'定理，得△BDF≌△CDE， 所以BF=CE， 而BF=AB-AF，CE=AC+AE， 所以AB-AF=AC+AE， 所以AB-AC=AF+AE． 显然，AE=AF， 所以AB-AC=2AF． 证明：连接DB、DC，作DE⊥直线CA，垂足为E． 因为∠DAE=∠DAF，DF⊥AB， 所以DE=DF， 因为AD=AD， 所以△ADE≌△ADF， 所以AE=AF． 因为四边形ACBD内接于圆， 所以∠DAE=∠DBC， 因为∠DAE=∠DAB， 所以∠DAB=∠DBC， 所以弧BD=弧CD， 所以BD=DC． 在Rt△BDF与Rt△CDE中， BD=CD，DF=DE， 所以△BDF≌△CDE， 所以BF=CE， 因为BF=AB-AF，CE=AC+AE， 所以AB-AF=AC+AE， 所以AB-AC=AF+AE=AF+AF=2AF， 所以AB-AC=2AF． 从证明过程可以发现，本题获得解决的关键在于为了利用角平分线性质定理作出的辅助性DE，从而构造了全等三角形．这种思路方法在其他相关问题中都值得进行尝试． 练习： 1.如图3，△ABC中，AB>AC，∠ABC的外角平分线交外接圆于点D，DE⊥BC，交CB延长线于点E．BE=1，求AB-BC． （提示：过点D作DF⊥AB于F） 2.如图4，圆内接△ABC中，AB=AC，D是弧BC上一点，DC>DB，AE⊥DC于E． 求证：DC-DB=2CE． （提示：过点A作AF⊥BD交BD延长线于F） 3. 如图5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B、∠C的平分线BD、CE相交于点I，求证：ID＝IE． （提示：连接IA，过点I分别作IP⊥AC于P，IQ⊥AB于Q） |
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