欧拉公式，复数域的成人礼

马同学搬砖工 2019-05-15

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之前在“复数，通往真理的最短路径”中说过，复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。

大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是、两个任意实数，外加虚数 $i=\sqrt{-1}$ ，把它们结合在一起，就完成了：

$a+bi,\quad (a,b\in\mathbb{R})$

但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：

复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：

我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。
----约翰·伯努利

这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})$

1 数域扩张的历史

来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：

1.1 自然数到整数

数学刚开始也是一片空白：

0的出现就是数学的奇点：

根据皮亚诺定理（可以参考为什么1+1=2？）“爆炸”出了自然数域（可以参考自然数是否包含0？）：

很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：

添加负数之后，有一个问题就出现了：

$4^{-1}=\color{red}{?}$

我们知道 4^3 是对 $4\times 4\times 4$ 的缩写，并且容易推出如下计算规则：

$4^{2}\times 4^{3}=4^{2+3}=4^5$

我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：

$4^{-1}\times 4^{1}=4^0=1\implies 4^{-1}=\frac{1}{4^1}$

更一般的有：

$4^{-n}=\frac{1}{4^n},\quad (n\in\mathbb{Z}^+)$

并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：

$\begin{array}{c|c} \hline \ \quad 4^3\quad&4\times 4\times 4\quad \ \quad 4^{-3}\quad&\quad 1\div 4\div 4\div 4\quad\ \ \hline \end{array}$

1.2 整数到实数

很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：

$\frac{a}{b},\quad(a,b\in\mathbb{Z},b\ne0)$

来填满这些空隙（示意图）：

还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：

自然会有这么一个问题：

$4^{\pi}=\color{red}{?}$

$\pi$ 是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。

2 复数基础

往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。

2.1 复数的运算规则

复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数，通往真理的最短路径”说过，形如：

x^3-3px-2q=0

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

$x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}$

如果 p=5 、 q=2 ，可以得到方程：

x^3-15x-4=0

从图像上看， x^3-15x-4 与 y=0 有三个交点的：

套用通解会得到：

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{2^2-5^3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{2^2-5^3}}=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$

这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：

加法：(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i

乘法：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi^2

那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。

2.2 复数加法、减法的几何意义

为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量 z=a+bi 有：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad 名称\quad&\quad 解释\quad&\quad 符号 \ \hline \ \quad 模\quad&\quad 长度\quad&\quad |z|\quad \ \quad 幅角\quad&\quad 与实轴正方向的角度\quad&\quad \arg(z)\ \ \hline \end{array}$

复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（），纵坐标是虚轴（），下图还把刚才的符号给标了出来：

加法的几何意义和向量也一样：

但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

根据刚才的乘法规则，计算可得：

(a+bi)i=-b+ai

画出来发现，两者是正交的：

还可以从另外一个角度来理解这一点，在复平面上是这样的：

那么， (a+bi) 乘以虚数，就是：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad \quad&\quad 长度\quad&\quad 幅角\quad \ \hline \ \quad z=a+bi\quad&\quad |z|\quad&\quad\arg(z)\quad \ \quad i\quad&\quad |i|=1\quad&\quad\arg(i)=90^\circ\quad \ \quad z\times i\quad&\quad |i|\times|z|\quad&\quad\arg(z)+\arg(i)\quad \ \ \hline \end{array}$

对于一般的向量 c+di ，也符合这个规律：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad \quad&\quad 长度\quad&\quad 幅角\quad \ \hline \ \quad z_1=a+bi\quad&\quad |z_1|\quad&\quad\arg(z_1)\quad \ \quad z_2=c+di\quad&\quad |z_2|\quad&\quad\arg(z_2)\quad \ \quad z_1\times z_2\quad&\quad |z_1|\times|z_2|\quad&\quad\arg(z_1)+\arg(z_2)\quad \ \ \hline \end{array}$

好了，知道这些差不多了，开始正题。

3 复数域的扩张

好了，轮到复数域了，复数定义为：

$a+bi,\quad (a,b\in\mathbb{R})$

那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：

$e^{i}=\color{red}{?}$

这个问题可以用欧拉公式：

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})$

来回答，取 $\theta=1$ ，可得：

$e^{i}=\cos 1+i\sin 1$

画出来就是复平面上模长为1，幅角也为1的点：

更一般的，欧拉公式说明， $e^{i\theta}$ 是单位圆上幅角为 $\theta$ 的点：

但是，欧拉公式 $\color{red}{凭什么}$ 长这个样子！

3.1 的定义

欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。

实数域中的 e^x 函数，起码有三种定义方式：

极限的方式：
$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$
泰勒公式的方式：
$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
导数的方式：
$e^x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x$

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

3.1.1 极限的方式

因为：

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

我们可以大胆地令 $x=i\theta$ ：

$e^{\color{orange}{i\theta}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{orange}{i\theta}}{n}\right)^n$

那么之前的 e^i 就等于：

$e^{i}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i}{n}\right)^n$

我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为 e^i 对应的是单位圆上幅角为的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为：

然后取 n=3 ，可以得到：

$\left(1+\frac{i}{3}\right)^3=\left(1+\frac{i}{3}\right)\times \left(1+\frac{i}{3}\right)\times \left(1+\frac{i}{3}\right)$

根据复数的乘法规则，可以看出：

取 n=10 ：

取 n=30 ，已经很接近单位圆上幅角为1的点了：

对于更一般的 $e^{i\theta}$ 也是同样的：

当 n=100 时，就很接近单位圆上幅角为 $\theta$ 的点了：

可以证明当 $n\to\infty$ 时， $e^{i\theta}$ 为单位圆上幅角为 $\theta$ 的点，也就是得到了欧拉公式：

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})$

可能你还会问，直接替换为 $i\theta$ ，合理吗：

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\implies e^{\color{orange}{i\theta}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{orange}{i\theta}}{n}\right)^n$

这里是理解欧拉公式的 $\color{red}{关键}$ ，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义 $e^{i\theta}$ 。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？

打个比方吧，在实数中“除以 ”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：

$\begin{aligned} 0=0\implies 2\cdot 0=1\cdot 0\implies \frac{2\cdot 0}{0}=\frac{1\cdot 0}{0}\implies 2=1 \end{aligned}$

欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。

3.1.2 泰勒公式的方式

实数域下，有这些泰勒公式：

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$

$\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots$

$\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots$

也是直接替换 e^x ，令 $x=i\theta$ 有：

$\begin{aligned} e^{i\theta} & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \frac{(i\theta)^6}{6!} + \frac{(i\theta)^7}{7!} + \frac{(i\theta)^8}{8!} + \cdots \ & = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \ & = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \ &=\cos\theta + i\sin\theta \end{aligned}$

这也有漂亮的几何意义，看看 e^i 的前三项：

$e^i\approx 1 + i + \frac{i^2}{2!}$

这是三个复数相加，加出来就是：

再增加第四项 $\frac{i^3}{3!}$ ：

随着 $n\to\infty$ ，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为的点。对于更一般的 $e^i\theta$ 也是类似的螺旋：

3.1.3 导数的方式

实数域有；

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{rx}=re^{rx},\quad(r\in\mathbb{R})$

直接套用：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{it}=ie^{it}$

假设是时间，那么 $e^{it}$ 是运动在复平面上的点的位移函数， t=0 时位置为 $e^{i0}=1$ ：

$e^{it}$ 的运动速度，也就是导数 $ie^{it}$ 。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于 $e^{it}$ （根据乘法规则，乘以表示旋转 $90^\circ$ ）：