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小时候拥有一只玩具小拖车，车上放一个小球，车头系一根绳。我记得很清楚，拉着小拖车的时候，小球会滚动。我就会跑去问父亲：“爸，我发现拉扯车往前走，球会往后滚。而我一旦停下来，球就向前滚。这是怎么一回事？”父亲并没有直接告诉我一个物理概念，比如说惯性，而是回答道：“如果仔细观察，就会发现球并没有向后滚，而是你拉着车向小球移动；小球原本是静止不动的，也许是因为摩擦力的作用再向前移动，而不是后移。” 于是我兴致勃勃地重新观察，果然发现爸爸说的是对的！我拉车的时候，小球并没有往后跑，它是相对于车斗向后移动；但是相对于地面，小球稍稍往前移动了一点。也就是说小车的移动超过了小球而已。这就是我爸爸教育我的方式，用生动的例子探讨问题，整个过程毫无压力。我们希望胡老师的这个系列，也同样带给孩子们这些思考的乐趣。 因为我们觉得，仅仅知道一个概念和真正理解这个概念有很大的区别。也希望孩子们能早些明白这一点。 自幼受到过很多音乐名家、数学名师的教导，打下了良好的钢琴演奏和数学基础，可谓是通音律，明数理。2011年至今，他回到家乡武汉全身心地投入到数学教学与研究中，一直在寻求数学教育与艺术、生活、优秀传统文化以及孩子自身认知规律相结合的道路上不断求索，努力让数学“感性”起来，让孩子们眼中的数学不只是数学题。2018年年初，他推出了首部以东方文化为底蕴的少儿数学科普读物《影响孩子一生的魔幻数学》，旨在让孩子真正学会用数学的眼光看待世界、用数学的头脑思考世界、用数学的文化创造世界。 质数在历史上经历了从被嫌弃到被喜爱的过程。我们的祖先总是试图寻找可以平均分配的数，这样在资源分配的时候不容易引起矛盾，于是，像6、12、24、60、360……这样的数就非常受人喜爱，而那些类似29（两次月圆的间隔时间）不能分成两个比自己小的数相乘的数，就不那么另人愉快了，他们被称为“不可分割的数”，也就是我们今天所熟悉的“质数”。 诡异的是，当人类真的想要找出那些可以平均分配的数时，发现那些曾经被“嫌弃”的质数才是关键，于是乎，数学家们和质数“恋爱”了…… 首先让我们看看易于平均分的数对我们生活的影响。 假设我们有12只兔子和若干人，那么可以存在的分配办法有哪些呢？我们可以参考下面这张表： 如果是7只兔子和若干人，可以存在哪些分配办法呢？可见下表： 你看，相对于7而言，12确实是一个比较实用的数，一年12个月，类似的还有1天12个小时。其实，像12个月一年、24小时一天、60分一小时这样的进位设置都源于一个曾经极度辉煌的文明——古巴比伦。 古巴比伦人用的是60进制，至今人类在记录时间及角度时，仍然采用60进制。与10进制一样，60进制仍然源于我们的双手。 两个大拇指是鼠标，用右手的大拇指从二指的最上方一个指节开始（确保是3的倍数），直到小拇指的最下方一个指节结束（确保是2、4 的倍数），可以数出1至12，右手每数完一轮，左手竖起一个手指（不包括大拇指），这样，5轮之后（5的倍数），左手已无手指可用，即数到60必须进位了！【赶紧和小伙伴一起模拟古巴比伦手工计数进位！】 60进制的运用促进了当时巴比伦人天文测量活动的效率，解决了几何学中常常需要二等分、三等分、四等分、五等分、六等分角的需求。 其实，人类发展长河中，各个文明对数的“平均分”与“不可分”都有类似的探讨。中国人比较早注意到特定数字的不可分配性。比如我们的阴阳观念，以及据此引申出把十二生肖分为两类，动物的阴阳则根据足趾的奇偶参差排定。 大家可以看到，阴在中国的文化里代表偶数，而阳代表奇数，可是奇数中还有代表“至阳”的一类数，它们只能被排成一条线，而不能摆成除一以外宽度的长方形，例如： “至阳”的奇数7： 古希腊的哲学家、诗人和数学家——埃拉托色尼采用了经典质数筛选方法： 第一步，列出如下这样以2开头的连续自然数序列： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第二步，标出序列中的第一个质数，序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第三步，在现存序列中，从第二项开始划掉第二步中质数的倍数。(用蓝色标出)，主序列变成： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第四步，如果现在剩下的序列中，最大数小于第一个质数的平方，那么剩下的序列全部是质数，否则返回第二步。本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步： 剩下的黑色数字序列中第一个素数是3（用红色标注）, 接下来用蓝色划出3的倍数。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 再比较3的平方跟25的大小。然后再确定剩下黑色数字学列中第一个素数是5，再划出5的倍数。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 在本例子中，5的平方等于25了，所以跳出循环，否则继续划出7的倍数，11的倍数，一直做下去。 综上所述，就是在一个序列中，依次划出2，3，5，7……，等质数的倍数，直到整个序列剩余的数全部都是质数。什么时候停止？——某个质数的平方大于等于数字序列中最后一个数。 为什么1不是质数？ 古人对质数的不断认识，让人们更加接近于对数字真相的理解。打个相对贴切的比方，我们每个人被贴上标签——“身份证”可以在公安系统中唯一标识我们每一个人。那么，对于我们的数也可以通过形式系统表达成唯一形式——这也是质数的力量！ 我们考察如下数的表达形式： 252 = 1 * 2^2 * 3^2 *7 = 1^2 * 2^2 * 3^2 * 7 = 1^3 * 2^2 * 3^2 * 7 = 1^4 * 2^2 * 3^2 * 7 如果我们把 1 认定成质数，那么252是有无限多种表达方式的。为了质数表达式唯一，我们把1剔除到质数集合外。 自然界的如此这般趣闻还有很多，比如慵懒的暑假，还有我们躺在床上，伴着“知了”的鸣啼酣然入睡。绝大多数的蝉是一年生的，每年繁殖一次。他们在黑暗的泥土中静候，直到繁殖期，钻出地面鸣喝，求偶繁衍。十七世纪，有人描述过一种产自北美的蝉，他的生命周期极长。直到十八世纪初期，美国昆虫学家们才最终确定了这种蝉的周期——17年。一个世纪后，又有一种生命周期为13年的蝉被发现。科学家们把这两种蝉统称为“周期蝉”（Periodical Cicadas）。 周期蝉总是在5月下旬（差不都就是我们发文这个档口）开始破土而出，沿着树干爬到高处，发出疯狂的求偶之声。他们必须抓紧时间找到伴侣，因为大自然留给他们的春宵，只有一个礼拜。之后，雌性把卵产在树干内，便死掉了。经过若干周的孵化，幼虫破壳而出，落到地上，钻进土壤，依附在大树的根部蛰伏。他们一遍吸食树根的汁液，一遍等待时机，像他们的祖辈那样破土而出，传宗接代。可是这样一等就是16年（或者12年）。 17年周期蝉，其实在第八年的时候就已经完全成熟了，但他们的体内似乎有一个钟表，不断告诉他们要耐心等待。直到17年的那个神奇夏天，他们约好了一般，冲出地面飞上枝头，完成自己的历史使命。 科学家们总想弄明白，为什么周期蝉要选择在地下生活这么多年？表面上看是为了减少繁殖效率。好处在哪里呢？现在这个问题基本有了共识。原来，周期蝉最早出现在大约180万年前，那时候的北美处于冰河期——气候极其不稳定，经常会有冷夏。而我们的成年“知了”需要很高的气温，如果出土后正好遇到低温，就死定了。科学家们经过模拟测算发现，如果在1500年里，每50年出现一次冷夏，那么7年蝉的成活率是7%，11年蝉的成活率是51%，17年蝉的成活率则是96%。生命周期越长，成活率就越高。 但是另外一个有趣的问题是，为什么周期蝉的生命周期总是质数？1977年，著名的古生物学家史蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）提出一个有趣的假说，他认为周期蝉这么做是为了避开自己的天敌——鸟类。如果周期蝉的生命周期不是质数，那么他们就会有许多机会与天敌的周期重叠，这样很容易被吃掉。假设12年的周期蝉，就会和生命周期为2 、3、4、6年的天敌多次相逢，幸存概率急剧下降。 比如下图显示，假想中生命周期为12年的蝉和它的生命周期为6年的天敌，在64年中的相遇情况：黄色为两者相遇的年份，绿色为其他年份天敌出现的情况。 2001年德国科学家设计了一个数学模型，间接验证了这一假说。在这个计算机模型里，蝉和天敌们的生活周期一开始都不固定，但是两者都会随机地发生变异。如果周期重叠，蝉就被吃掉。经过多年的演化后，蝉的周期无一例外地会停留在一个质数上。达尔文的支持者肯定喜欢这个理论，因为它把周期蝉的这个'神来之笔'变成了一个进化论框架下的数学模型。另外，这个理论还产生了一个副产品，那就是'质数生成器'。原来，质数是没有规律可言的，大质数很难找到，需要用计算机一个一个算。现在好了，只要把前提条件变化一下，输入这个'质数生成器'，就能自动得出一个质数来。 康奈尔大学的行为生态学家沃尔特·科尼格（Walt Koenig）研究了北美以蝉为食的捕食性鸟种群资料，主要针对15中鸟类。研究现实，在周期蝉大批涌现的当年，这些鸟类的数量达到最低点。而从17年蝉大批出现的第12年后，捕食它们的鸟类数量开始减少，最终在17年达到最低点。13年周期蝉的天敌鸟的数量，也呈现了类似的规律。科尼格说，蝉控制了鸟类，他们给鸟设计了一条轨道，使得下一批蝉出现的时候，鸟类的数量已经大幅减少到最低。 工程师在设计齿轮的时候也充分考虑到数与数之间的互质关系。齿轮一般考虑一大一小耦合在一起，且两者的齿数是互质的。这样咬合分布可以更加平均，可以最大程度的减少磨损。例如A齿轮存在一个缺陷齿，它会更加均匀得去磨损B齿轮的所有齿。 如果我们设计的两个齿轮对应的齿数分别是13和17，那么他们的最小公倍数是 13*17= 221。那么A齿轮和B齿轮某一对齿将会经过221次咬合后，再次相遇。 但是如果我们设计的两个齿轮对应的齿数分别是15和18，那么他们的最小公倍数是 90。 那么A齿轮和B齿轮的某一对齿，将会经过90次咬合再次相遇。 魏军过万大军（10000至20000之间）兵临城下，孔明派人打探具体人数，不日，收到飞鸽传书一封，打开一看： 【 答 案 】质数所对应的文字所组成的密信内容为：全军操练，可三分、五分、七分、十一分、十三分均无剩余，军师斟酌。
根据信的内容，我们可以知道魏军人数为3、5、7、11、13的倍数，满足条件的最小数为3×5×7×11×13=15×1001=15015人，即魏军有15015人。 另，将非质数数字对应的文字提取（从文末逆序念作），内容如下： 端午佳节将至，我在此提前祝鸡娃快跑的所有读者端午安康！ 特别祝愿鸡娃快跑的小读者们能与数学相谈甚欢，能与艺术结缘； 祝愿家长与孩子共同成长，心宽气和。 数学，与你我同在！ 胡  版权声明 |
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