第84题 几何压轴题，压在何处 平行相似找落脚，化归转化有轴劲！

84.如图，在矩形KLMN中，对角线LN上一点O，⊙O过顶点L，与边KN相切，P为切点，与边KL相交于点Q.

（1）若四边形OPQL是菱形，求证：∠NOP=60°；

（2）若KL=5，KN=12，求⊙O的半径r与KP的长；

（3）若LN与⊙O的另一个交点为H，求证：KP：PN=KQ：HN

分析

（1）利用菱形与圆构造等边三角形＝＞60°角

（2）利用OP∥KL（平行线截比例线段）＝＞两类比例式（易混知识点之一）

＝＞建立方程组，解得。

（3）按结论比例式找出的三角形不可能相似，只能想办法做代换（等线段或中间比）

实际操作

（1）连OG，

⊙O过L，G＝＞OQ=OL

四边形OPQL是菱形＝＞OL=LQ

∴OG=OL= LG＝＞等边三角形OLQ＝＞∠QLO=60°

⊙O与KN相切，P为切点＝＞OP⊥KN

矩形KLMN＝＞KL⊥KN

∴OP∥LK＝＞∠NOP=∠QLO=60°

（2）KL=5，KN=12，KL⊥KN，

由勾股定理得LN=13

由（1）OP∥LK＝＞KP:KN=LO:LN＝＞KP:12=r：13

OP∥LK＝＞OP:LK=PN:KN＝＞r:5=（12－KP）：12

联立解得KP=10/3，r=65/18

（3）作HJ⊥KN，J为垂足，连QH，

LH为⊙O的直径＝＞QH⊥KL，且∠K=90°

∴矩形KQHJ＝＞KQ=HJ

OP∥LK＝＞KP:PN=LO:ON，且OL=OP

＝＞KP:PN= OP:ON，

且sin∠ONP= OP:ON=sin∠HNJ= HJ:HN

∴KP:PN= HJ:HN= KQ：HN

综述

1.本题涉及知识点

圆类：垂径定理，圆周角定理，等对等定理，直径所对圆周角为直角；

菱形：菱形的性质：四边相等，对角线平分一组内角；

平行线：平行线性质，平行线截线段成比例，平行线截得相似三角形（判定三角形相似的预备定理）

矩形判定及性质定理，还有勾股定理、三角函数等。

2从这些知识点中，任意选取一个作为思考的出发点，都可找到解决办法，因此本题方法众多。

3.在提供的解法中，由平行推出可比例式众多，如何选取和转换是难点，问题（2）中的两类比例式是易混淆的点（一般错误率较高），问题（3）比例式的转换要经过五步方能到位：基础比例式-＞半径等转换-＞正弦定义转换1-＞正弦定义转换2-＞矩形对边等转换-＞得证。

4.这类压轴题最终都化归到平行相似得证或建立模型求解，在选择比例式进行转化的过程中需要一股轴劲，不达目的誓不休！