多元等式问题的解法

我们知道，如果实数a，b，…，c满足a^²+b^²+…+c^²=0，

则a=b=…c=0．

这是实数的一个简单性质，这个简单性质在初中数学解题中却有着不简单的应用，对于多元等式且带有平方关系时，设法将它化为平方和等于0的形式后，问题便可以迎刃而解．请看：

例 已知实数x、y、z满足

√x+√(y-1)+√(z-2)=(x+y+z)/2，

求x、y、z的值．

解析：设法将已知等式配方化为平方和等于0的形式．

去分母，并整理，得：

x+y+z-2√x-2√(y-1)-2√(z-2)=0，

从配方的角度分别考虑

x与-2√x-2，y与-2√(y-1)，z与-2√(z-2)的关系，将它们分别分为一组，得：

[x-2√x+1]+[(y-1)-2√(y-1)+1]+[(z-2)-2√(z-2)]=0，

注意到

x=(√x)^²，

y-1=[√(y-1)]^² ，

z-2=[√(z-2)]^²，

因此可分别配方，得：

(√x-1) ^²+[√(y-1)-1] ^²+[√(z-2)-1] ^²=0，

所以√x-1=0且√(y-1)-1=0且√(z-2)-1=0，

分别解之，得：x=1，y=2，z=3.

练习：

（1）已知实数x、y满足

x^²+y^²＝2（x＋y-1），

求x、y的值．

（2）已知4x^²y^²+x^²+y^²+1=6xy，

求(x-1)(y+1)的值．

（3）已知a、b大于0，且

a√(1-b^²)+b√(1-a^²)=1，

求证：a^²+b^²=1．