经典再现21——旋转的直角

题：如图1，RtΔABC中，∠C=90°，O为AB的中点，∠MON=90°，OM交AC于M，ON交BC于N.

求证：AM^² BN^²=MN^².

分析：欲证AM^² BN^²=MN^²，很自然会想到勾股定理，但AM，BN，MN不在同个三角形中，要想利用勾股定理，就需要通过变换，将三条线段变换到同个三角形中去.注意已知条件“O为AB的中点”，故尝试以O为中心对ΔOAM进行中心对称变换.

证明：如图2，过点B作BD∥AC交MO延长线于点D（即将ΔOAM绕点O旋转180°得到ΔOBD）.则

AM=BD，OM=OD，∠OBD=∠A，

因为∠A ∠ABC=90°，

所以∠DBC=90°.

连接BD，则BD^² BN^²=DN^²，

因为∠MON=90°，

所以OM垂直平分MD，

所以ND=MN，

所以AM^² BN^²=MN^².