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23.在等边三△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究:当M，N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。 (1) 如图1：当点M、N在AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是________,此时Q:L= _______ (2) 如图2：点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并证明； (3)如图3，当M、N分别在边AB、AC的延长线上时，若AN=x，则Q=_______(用x,L表示) 解：(1)BM CN=MN, 2:3 (2)两个结论仍然成立。 将△DCN以D点中心逆时针旋转120°，得到△DBN’，如图所示， ∴DN=DN’，CN=BN’，∠CDN=∠BDN’，∠N’BD=∠NCD 又∵∠BAC=60°，∠BDC=120° ∴∠ABD ∠ACD=180°，所以点A、B、N’三点在同一条直线上。 ∵∠NDM=60°∴∠BDM ∠CDN=60°∴∠MDN’=∠MDN=60° 在△MD N’和△MDN中 DN’=DN ∠N’DM=∠NDM DM=DM ∴△MD N’≌△ MDN ∴MN=MN’=BM BN’=BM CN ∴Q=AM MN NA=AM BM CN AN =AB AC=2AB L=AB BC AC=3AB 即Q:L=2:3 (3) 仍将△DCN以D点中心逆时针旋转120°，得到△DBN’，如图所示， ∴CN=BN’ 同理（同第2小问）可证：△MD N’≌△ MDN∴MN=MN’ ∴Q= AM MN NA=AB BM MN’ NA =AB CN NA= AB CA NA NA |
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