初中不可不知几何模型之：半角模型

模型描述：

半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。

模型图例：

模型分析：

∵△OBF ≌△OAF'

∴∠3=∠4,OF=OF'

∵∠2=1/2∠AOB,

∴∠1+∠3=∠2.

∴∠1+∠4=∠2.

又∵OE是公共边，

∴△OEF ≌△OEF'

提醒：（1)半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

(2)通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

(3）常见的半角模型是90°含45°、120°含60°。

模型示例：

1、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。

（1)求证：BM+DN=MN.

（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB。

证明：

2、在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。

(1)如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是____。

(2)如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明。

解答：

模型演练：

1.已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°。

求证：MN=DN-BM。

2、问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论。他的结论应是_____。

探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。

实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70”的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等。接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离。

3、已知，在等边△ABC中，点O是边4C、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°.

（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；

(2)如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1）中的结论是否仍然成立?若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系。