2019高考100题之008(函数的切线)

       在下面的三篇推送中，我把函数的切线问题作了一些介绍：

       三十天冲刺（二十二）——《函数切线问题》

       2018高考数学100弹之第17弹：函数与切线

       通过几何画板学函数（四）——切线问题

       函数的切线与函数图象有几个公共点？相信现在大部分同学不会仓促地回答只有一个交点了，但是在初学的时候，受直线和圆、直线和椭圆、直线和抛物线等位置关系的影响，很多同学都会误以为曲线的切线与曲线只有唯一的公共点。

       以直线和抛物线为例，联立之后是二次方程(直线和抛物线对称轴不平行、不重合的情况下)，二次方程根的形式决定了，直线和抛物线相切时只有一个公共点。或者从抛物线的凸凹考虑，抛物线是单一的凸函数或凹函数，直观感知到，其图象上某一点处的切线与抛物线只有一个公共点。

       对于下题：

       分析：该题的第二问来源于2012年福建卷，在2018高考数学100弹之第17弹：函数与切线以及2018高考数学100弹之第18弹：e^x与x的关系之引申中对该题作了分析。

       下面从凸凹的角度，通过图象把该题的图形背景介绍一下。

       f(x)的导函数以及二次导函数如下：

       f(x)的单调性如下：

       我们知道，一次求导只能判断原函数的单调性，而通过二次求导，判断导函数的单调性，可以判断原函数的凸凹，如下图三个增函数，第一个是直线，导函数为定值；第二个上凸，导函数越来越小，其切线在其上方(除了切点)；第三个下凸，导函数越来越大，其切线在其下方(除了切点)。

       对于上题，当a≤0时，显然f''(x)<0，所以f'(x)为减函数，所以此时f(x)不但是先增后减的，最主要其图象为上凸的，图象如下：

       此时，直观感知，其图象上任意一点处的切线与该函数只有唯一的公共点。

       当a>0时，可得：

       所以a>0时f(x)图象大致如下所示：

       此时，直观感知，函数f(x)在其拐点处的切线穿过该函数，与该函数只有唯一的交点，而别的点处的切线与该函数还有另一个交点。

       上述的只是介绍了该题的图形背景，并不是严格的证明。

       在命题结束后，我们将该题给了一位大学刚毕业的老师做，他就说当a≤0的时候，直接说明二阶导数为负数不就证明了吗。昨天也有老师给我发消息，问我这样说明可不可以。

       我觉得是不可以的，这是大题，必须有严格的推理，如果按照这个逻辑，大家看看2005年的辽宁卷：

       这道题说的就是一个上凸的函数的切线与其位置关系的题，难道我们第二问就在卷上写“由图得，证毕”？

       我们分析该题的背景，是为了让同学更深刻理解该题的本质，而不是说在解答题中可以随意的数形结合。

       所以上题必须有严格的证明，答案如下，其中包括上面福建那道题，需要涉及到函数零点是否存在的问题，该问题以后再阐述。

       还有对于拐点问题，大家要知道的是：

       大学有严格的凸函数、凹函数的定义，我们并不用去掌握，所以上面我只用上凸和下凸来命名，其实不够标准。

       我们基本初等函数中，三角函数具有拐点，y=sinx和y=cosx的拐点处的切线与原函数图象只有一个公共点。大家不要误以为所有函数在拐点处的切线与该函数只有唯一的公共点，比如y=tanx的拐点处的切线与原函数图象有无数个公共点。

       y=sinx和y=tanx在原点处的切线相同，都是y=x，有一个重要的不等式sinx<x<tanx(0<x<π/2)，下图就体现了该不等式，不过还是一样，如果大题你需要用到该不等式，要不通过三角函数线证明，要么构造函数求导证明。

       三次函数都有拐点，其拐点处的切线与三次函数只有一个公共点，该拐点还是其对称中心，在2018高考数学100弹之第26弹：三次函数的图象与性质以及通过几何画板学函数（四）——切线问题中对该问题作了介绍。