2019高考100题之070(解三角形6)

       分析：

       在ΔABC中，如果已知一个角及其对边，则最常见的两道题是：求周长的取值范围、求面积的取值范围，做法有很多种，最多采用的是由余弦定理构造边的关系然后均值不等式，或正弦定理边化角.

       上题是将求周长的最大值升级了，除了均值不等式外，其它做法基本上没啥变化.

       我们先来看正弦定理的方法：

       由AC/sinB=BC/sinA=AB/sinC=2，得：

       AB=2sinC,BC=2sinA,

       所以AB+2BC=2sinC+4sinA

       =2sin(A+π/3)+4sinA

       =5sinA+√3cosA

       =2√7sin(A+ψ),(0<A<2π/3，(5,√3)在锐角ψ的终边上).

       所以2√7sin(A+ψ)最大值为2√7，

       当A+ψ=π/2即A=π/2-ψ时取到等号.

       如果利用余弦定理，可得如下题：

       已知正数a,c满足3=a²+c²-ac，求2a+c的最大值.

       我们在2019高考100题之050(均值不等式3）中介绍这么道题：

       已知实数x,y满足4x²+y²+xy=1，求2x+y的最大值.

       这道题和上题基本上是一道题，唯一的区别是这道题x和y属于实数，所以大家做这道题不会想到构造三角形然后利用正弦定理边化角来解决，上次我们介绍了三个方法，对上题也适用，再来回忆一下.

       一.均值不等式法：

       由3=a²+c²-ac，可得

       3=(2a+c)²-5ac-3a²

       =(2a+c)²-5a(c+3a/5).

       因为(7a/5)×(c+3a/5)≤[(7a/5)+(c+3a/5)]²/4，

       即(7a/5)×(c+3a/5)≤(2a+c)²/4，

       所以(2a+c)²-5a(c+3a/5)

       ≥(2a+c)²-25(2a+c)²/28

       =3(2a+c)²/28，

       所以(2a+c)²≤28，2a+c≤2√7.

       当且仅当7a/5=c+3a/5即4a=5c时取到等号.

       二.三角换元法：

       由3=a²+c²-ac，可得

       3=(a-c/2)²+3c²/4，

       可设a-c/2=√3cosθ,√3c/2=√3sinθ，下略.

       三.判别式法：

       设2a+c=t，则c=t-2a代入原式得：

       3=a²+(t-2a)²-a(t-2a)，化简得：

       7a²-5ta+t²-3=0,

       由判别式不小于零，解得t≤2√7.

       注意：因为a和c为正数，后两个方法在取等条件上需要检验说明.

       综上，上述第一个做法最正统，第二个方法最困难，后两个方法最快捷但是要注意取等条件.