2018年玉林市中考数学压轴题分析

【题目】

（2018·玉林）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．

（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．

【答案】

解：（1）当y=c时，有c=﹣x²+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．

∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），

∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b．

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA，CP=OB，

∴b=3，c=4，

∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x²+3x+4．

（2）当y=0时，有﹣x²+3x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴点F的坐标为（4，0）．

过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．

∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），

∴点M的坐标为（m，﹣m²+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），

∴ME=﹣m²+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m²+6m+1，

∴S=1/2OA·ME=﹣1/2m²+3m+1/2=﹣1/2（m﹣3）²+5．

∵﹣1/2＜0，0≤m≤4，

∴当m=0时，S取最小值，最小值为1/2；当m=3时，S取最大值，最大值为5．

（3）

①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，

∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，

∴点M的坐标为（0，4）；

②

【方法一】

当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA．

设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=√((n-3)²+(0-4)²)，

∴n²=（n﹣3）²+16，

解得：n=25/6，

∴点D的坐标为（25/6，0）．

【方法二】

过点P作PN⊥x轴，垂足为N，

所以点N的坐标为（3，0），

设PM与x轴的交点D的坐标为（x，0），

由∠MPO=∠POA，得PD=OD，

所以在Rt△PDN中，

PD²=PN²+ND²，即x²=4²+（x-3）²，

所以x=25/6，点D的坐标为（25/6，0）．

【方法三】

作PO的垂直平分线ND分别交PO，x轴于点N，D，

易得点N的坐标为（1.5，2），

直线PO的解析式为y=4/3x，

由PO与ND垂直，易得直线ND的k=-3/4，

所以直线ND的解析式为y=-3/4x+25/8，

当y=0时，x=25/6，点D的坐标为（25/6，0）．

设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），

将P（3，4）、D（25/6，0）代入y=kx+a，

3k+a=4，25/6 k+a=0，解得：k=-24/7，a=100/7，

∴直线PD的解析式为y=﹣24/7x+100/7．

联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：y=-24/7 x+100/7，y=-x²+3x+4，

解得：x_1=3，y_1=4，x_2=24/7，y_2=124/49．

∴点M的坐标为（24/7，124/49）．

综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（24/7，124/49）．

【总结】

如图，∠ABC，在平面内找一点D，使得∠DCB=∠ABC．

那么点D在哪里呢？

问题需要分类讨论，因为点D有可能位于直线BC的上方，也有可能位于下方．如图所示：

①当点D位于BC上方时，易得∠DCB与∠ABC构成一个等腰三角形；

②当点D位于BC下方时，易得直线AB∥CD．