高一数学《平面向量》教案

 

：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积  (强调：“模”与“方向”两点)
                                2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）    
                            3．向量共线的充要条件
                            4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λZ时，验证：λ( + )=λ +λ
证：当λ=0时，左边=0·( + )=   右边=0· +0· =   分配律成立
  当λ为正整数时，令λ=n,  则有：
n( + )=( + )+( + )+…+( + )
= + +…+ + + + +…+ =n +n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n( + )=n[( + )]=n[( )+( )]=n( )+n( )=n +(n )=n n
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ( + )=λ +λ 恒成立 。
2．如图，在△ABC中， = ,  =      AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
       解一：∵ = ,  =    则 =  = 
∴ = + = +  而 = 
∴ =  + 
                                      解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
                                                 ∵△AEF∽△ABC
                                                  =  =       =  = 
                                                  =  = 
                                       ∴ = + =  + 
   3．在     ABCD中，设对角线 = ， = 试用 ,  表示 ，
         解一： = =                =  = 
∴ = + =  =   
  = + = + =  + 
         解二：设 = ， =
则 + =               + =          ∴   = (  )
     =                 =                  = ( + )
     即： = (  )        = ( + )
  4．设 ,   是两个不共线向量，已知 =2 +k ,   = +3 ,  =2  , 若三点A, B, D共线，求k的值。
解： =  =(2  )( +3 )= 4
∵A, B, D共线      ∴ , 共线    ∴存在λ使 =λ
即2 +k =λ( 4 )       ∴          ∴k=8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设 = ,  = ，试以 ,  为基底表示 ,  , 
                                            解： =  =      连ND 则DC╩ND
                                                   ∴ = =  =  
                                                   又： =  = 
                                                   ∴ =  =  = 
=( +  )  =  
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1 (kg)   P1OP=60     P2OP=30
∴ = cos60=1· =0.5    (kg)
= cos30=1· =0.87    (kg)
   即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg