自适应的数感训练对低年级儿童数学能力的影响



自适应的数感训练对低年级儿童数学能力的影响

贾砚璞1，张 丽2，徐 展1

（1．西南大学 心理学部，重庆 400715；2．中央财经大学 社会与心理学院，北京 100081）

摘要：采用严格的实验组对照组前测后测实验设计，探讨自适应的数感训练对低年级儿童数学能力的影响．选取90名小学二年级儿童（平均年龄7.89岁）为被试，经过一个月每周两次的集体训练，结果表明：基于个体水平的数感训练可以提高儿童近似数量系统的精确性；基于个体水平的数感训练对儿童数学成绩的提升有促进作用；不同数学水平的儿童经过数感训练后数学成绩的提高程度间存在显著差异，自适应数感训练对中等数学成绩和低数学成绩学生的干预效果最好．在未来的教育及干预中，要设计更有针对性且多样化的方法促进儿童数学能力的发展．

关键词：低年级；自适应；数感训练；数学能力；因材施教

1 问题提出

数学能力在人的一生中占据着非常重要的地位．学龄儿童的数学能力可以预测未来的学业成绩[1–2]．越来越多的研究者开始探讨怎样才能提高儿童的数学能力[3–4]，研究热点之一就是数感训练对数学能力的影响[5–10]．

人们对物体或事件数量存在一种非言语的表征方式，这种表征区别于通过言语或数字符号对数量的精确表征，它具有近似性和不精确性[11–12]．Halberda（2008）将这种表征系统称为近似数量系统（approximate number system，ANS），也可称之为数感（number sense）．ANS不仅存在于成人中，在婴儿、动物中同样存在[13–14]．研究者通常采用非符号比较任务来测量ANS的精确性．该任务向被试呈现两个阵列的点，要求被试判断哪个阵列的点数更多一些．随着年龄的增大，ANS的精确性也会随之提高．ANS被认为是一种与生俱来的能力，相较于一般认知能力，ANS更可能是决定数学能力个体差异的最重要因素[13，16]．有研究者认为，ANS是获得数概念，甚至是更高级数学能力的基础[17–18]．因此，越来越多的研究者开始关注ANS和数学能力之间的关系．

ANS和数学能力之间存在显著相关，有3方面的证据支持：第一，不管成人还是儿童，ANS和数学能力之间都存在显著的正相关[19–22]，即使在控制了一般认知能力之后，两者之间的相关性仍然存在[13，16，23]，并且元分析的研究更为两者之间的显著正相关提供了证据[24]；第二，纵向研究的结果表明，ANS的精确性可以显著预测儿童未来的数学成绩[25–27]；第三，与正常被试相比，计算障碍儿童以及数学困难儿童的近似数量系统的精确性更差[18，28]，在数学天才群体中，ANS和数学成绩也是显著相关的[29]．因此，研究者猜测，如果针对数感进行训练的话，不仅可以提高近似数量系统的精确性，也会提高数学成绩．

该算式可以进行定量评价，但很难进行深入分析。因此，要附加两个条件：衰减要小（κ／k≪1）；观测点之间的距离要远大于波长（kr≫1）。首先，格林函数的远场近似如下：

大量干预研究为两者间的因果关系提供了证据[5–10]．但在这一部分研究中，所得到的结论是不一致的．在不同的干预研究中，数学能力所提高的方面各有不同．一些研究表明数感训练对数学能力的不同方面产生的影响是相同的，如Odic将数学能力分为数数、数字比较、计算、数学知识4个方面．Odic研究发现，经过数感训练后，儿童的数学成绩得到提高，但不同数学能力的提高程度间没有显著差异．另一些研究则表明数感训练只能提高被试某一方面的数学能力，如在Pekka的实验中，30个幼儿接受了数感训练后，结果发现在所测的数学任务中，只有数字比较任务的成绩得到显著提高；Park和Brannon（2013）同样进行了数感训练，但结果发现提高的却是被试的计算能力[8]．

首先，猜测这些不一致结论是由于不同的研究采用不同的数学任务来测量数学能力所导致的．Odic用TEMA-3中的16道题来测试儿童的数学能力，Park和Brannon（2013）则用多位数加减法来检验儿童的数学能力[7]．不同的数感干预研究中前后测采用的数学任务是不同的，这会使“数感训练可以提高数学成绩”的研究结论不严谨，而研究者所采用的北师大标准数学测验是针对中国二年级学生，所包含的数学能力也更完整．其次，数感训练对不同数学水平的儿童产生的效果是相同的吗？成绩差的、中等的或成绩好的，哪一类儿童经过训练后的数学成绩提高更显著？这些都是值得研究的问题，但以往数感干预研究中并没有讨论过．最后，以往的干预研究在进行训练时并没有考虑个体间的差异，每个儿童每次接受的都是相同的训练．研究者将基于个体水平进行训练，探讨自适应的数感训练对数学能力的影响．

在完善硬件平台的基础上，软件系统设计选用STC12C5A60S2单片机为中央处理器进行软件设计。系统主控软件流程图如图7所示。

因此，研究者将考察以下3方面问题．第一，经过自适应的数感训练后，儿童近似数量系统的精确性是否得到提高．第二，这一影响是否会迁移到数学能力上．第三，数学成绩差的、中等的、还是成绩好的学生提高更显著．假设低分学生经过数感训练后的数学成绩提高最显著．

2 方法

2.1 被试

选择重庆某小学二年级学生90人，平均年龄为7.89岁（SD=0.44，年龄范围为7~9岁），身心健康，均为右利手，视力或矫正视力正常．将平行的两个班以班级为单位随机分为2组：数感训练组（1个班，45人，平均年龄为7.96岁）；对照组（1个班，45人，平均年龄为7.82岁）．G-power的研究结果表明被试的样本量充足．SPSS数据处理时，删除了所有任务中3个标准差之外的数据，以及One-back任务、Flanker任务和非符号比较任务中反应时小于200 ms的数据，并用平均数代替缺失值．

2.2 实验材料

智力采用的是瑞文标准推理测验，施测方法为团体施测．测验要求被试根据大图案内图形间的某种关系，看小图片中的哪一张填入大图案中缺少的部分最合适．测验包含A、B、C、D、E等5组题，每组12道题，共60道题．答对一题得一分，共60分．

韦氏儿童智力量表中的言语分量表用来测量儿童的言语能力．施测方法为个别施测．言语分量表包括3个方面：类同、词汇和理解．类同要求儿童说出主试所说的两个词间相似的地方，连续3题得0分则停止；词汇测验要求儿童解释主试所说的词语的意思，连续4题得0分则停止；理解要求儿童在理解一般原理和社会情境的基础上回答问题，连续3题得0分则停止．言语分测验的总分为154分．

（1）机械性能：PPS纤维长度对滤料强力影响较大，本实验中使用76 mm纤维的PPS滤料经纬向强力均明显高于使用51 mm纤维的PPS滤料；

One-back任务用来测量儿童的工作记忆．儿童需要判断当前出现的拼音字母是否和前一个字母一致，如果一致按“J”键，如果不一致则按“F”键．一共有30个试次．在正式实验之前会进行练习，只有当练习阶段的正确率大于60%时，才能进入正式实验．One-back任务的衡量指标为正确率．

混合鱼任务（改编版的Flanker任务）用来衡量儿童的抑制控制和认知灵活性．混合鱼任务一共包含3个部分：（a）标准鱼，（b）相反鱼，（c）混合鱼．每个部分里各有16个试次，一共48个试次．在标准鱼情况下，小鱼是蓝色的，儿童需要忽略四周小鱼的干扰而注意中间小鱼的朝向，如果中间小鱼朝左按“F”键，如果中间小鱼朝右则按“J”键；在相反鱼情况下，小鱼是粉色的，儿童需要忽略中间小鱼的干扰而注意四周小鱼的朝向，如果四周小鱼朝左则按“F”键，如果四周小鱼朝右则按“J”键；在混合鱼情况下，蓝色小鱼和粉色小鱼则混合随机出现，儿童需要根据小鱼的颜色来进行正确的按键．在进行正式实验之前会有4次练习，在练习阶段会根据儿童的答案给予反馈（正确答案会显示“恭喜你，你还可以更棒！”，错误答案会显示“很遗憾，继续加油！”），在正式实验中则没有反馈．

非符号比较任务用来测量儿童的数感能力．该任务要求儿童判断屏幕左右两边哪边的点数多一些（如图1），如果左边的点数多就按“F”键，右边的点数多就按“J”键．由于在非符号比较任务中比率越大，难度就越大，因此对任务呈现中的比率进行了平衡，低难度比率（1:2，2:3，3:4，4:5）和高难度比率（5:6，6:7，7:8，8:9）各呈现4组．故非符号比较任务的点数范围为5~30，共有8种比率，每种比率出现6次，共48个试次．比率越大难度就越大，任务难度随机呈现，更多的点数出现在左边还是右边进行了平衡．正式实验之前会进行练习，练习时有反馈，正式实验时无反馈．

图1 非符号比较任务

数学能力采用的是北京师范大学编制的标准化测验《中国儿童青少年数学学业成就测验（二年级）》．数学测验包括选择题和解答题两部分，共34道题，在内容上数学测验将数学能力分为（a）数与代数、（b）空间与图形、（c）统计与概率3个方面．对于低年级儿童来说，数与代数主要包括数的认识、数的运算、常见的量和探索规律方面的知识，空间与图形指的是图形的认识、测量、图形与位置等，统计与概率测的是儿童数据统计活动初步和不确定现象的掌握情况．除了内容维度外，该数学成就测验还包括能力维度这一指标体系，能力维度包括知道事实、应用规则、数学推理、非常规问题解决4个方面．在涵盖的内容和能力维度不变的情况下，该成就测验是基于课程标准而制定的分段测验，具有数学内容和能力的连贯性和一致性，更适合中国被试群体使用．内部一致性信度为0.77．答对一题，计1分；答错计0分，共34分．

2.3 实验程序

在完成所有的前测任务之后，训练组儿童以班级为单位接受为期一个月的数感训练，每周两次（固定为每周一和周五进行训练），共8次，每次训练15~20分钟．对照组儿童只接受和训练组儿童完全相同的前测，不参与任何相关的训练，进行正常的教学活动．一个月的训练结束后，训练组和对照组儿童同时接受相同的后测．

数感训练时采用与前后测类似的非符号比较任务，不同点在于：第一，训练时刺激的呈现方式由随机呈现变为由易到难呈现（根据比率不同而分为8个难度阶段），当本难度的正确率达到75%以上时，才可进入下一难度的训练；第二，数感训练时，被试在对刺激做出反应之后，电脑会根据答案的正确与否做出反馈（正确答案会显示“恭喜你，挑战成功！”，错误答案会显示“很遗憾，继续努力！”）．

3 结果

3.1 描述性统计结果

首先，对两组儿童每个任务的前测成绩进行独立样本t检验．结果显示，两组儿童在前测成绩上没有显著差异（P> 0.05），如表1．

表1 数感训练组与控制组的前测任务描述性统计结果

数感训练组对照组P 数感能力（0~1） 0.76（0.14） 0.76（0.13）0.963 数学能力（0~38）15.32（4.24）14.12（4.12）0.175 智力（0~60）33.30（6.83）34.46（7.10）0.431 言语（0~154）37.33（9.20）36.13（8.47）0.523 工作记忆（0~1） 0.67（0.16） 0.66（0.12）0.647 抑制控制和认知灵活性（0~1） 0.71（0.13） 0.72（0.11）0.605

注：括号内数值为标准差，括号前为平均数．以下同．

3.2 迁移效果

3.2.1 近迁移效果

为了分析数感训练是否会对儿童本身的数感能力产生影响，研究者进行了2（测试阶段：前测，后测）×2（组别：数感训练组，对照组）两因素重复测量方差分析，同时将儿童的智力、言语、工作记忆、抑制控制和认知灵活性作为协变量进行控制．其中，组别为被试间变量，测试阶段为被试内变量．结果显示：组别和测试阶段的交互作用显著，F(1, 90)=5.083，P=0.027，偏η2=0.057．之后简单效应的结果表明：在非符号比较任务上，数感训练组儿童的后测成绩比前测成绩好，而对照组儿童在此任务的前后成绩上并没有显著变化；前测时两组儿童在非符号比较任务上并无显著差异，而后测时数感训练组儿童的非符号成绩显著优于对照组．这说明进行数感训练之后，数感训练组的非符号成绩的提高要显著优于对照组，数感训练可以提高儿童近似数量系统的精确性（见图2）．将前后测儿童标准化了的非符号成绩作差，并进行独立样本t检验（t(90)=2.944，P=0.004），结果同样证明，数感训练对提高儿童近似数量系统的精确性的积极作用．

图2 两组儿童在非符号比较任务上的正确率

3.2.2 远迁移效果

为了分析数感训练是否会对儿童的数学能力产生影响，研究者进行了2（测试阶段：前测，后测）×2（组别：数感训练组，对照组）两因素重复测量方差分析，将儿童的智力、言语、工作记忆及抑制控制和认知灵活性作为协变量进行控制．其中，组别为被试间变量，测试阶段为被试内变量．结果显示：组别和测试阶段的交互作用显著，F(1, 90)=9.324，P=0.003，偏η2=0.1．之后简单效应的结果发现：在数学任务上，数感训练组儿童的后测成绩比前测成绩好，而对照组儿童在此任务的前后成绩上并没有显著变化；前测时两组儿童在数学任务上无显著差异，后测时数感训练组儿童的数学成绩显著优于对照组．也就是说，进行数感训练之后，数感训练组儿童的数学成绩的提高要显著优于对照组，自适应数感训练可以提高儿童的数学成绩，结果见图3．将前后测儿童标准化后的数学成绩作差，并进行独立样本t检验（t(90)=2.219，P=0.029），结果同样表明数感训练对提升儿童数学成绩有积极作用．

3.3 不同水平儿童的训练效果

自适应数感训练可以提高儿童的数学成绩，但数感训练的效果对不同数学水平的儿童来说是否会存在差异仍是不清楚的．因此为了解决第三个研究问题，研究者先根据数感训练组儿童前测的数学成绩按累计百分比分为高、中、低3组：将数感训练组中前测数学成绩处于后1/3的儿童划分为低分组（15人），处于前1/3的儿童划分为高分组（15人），其余1/3的儿童为中等组（15人）．除数学任务以外，3组在其它任务上无显著差异（见表2）．之后用数感训练组儿童的后测标准化数学成绩减去前测标准化成绩，并进行单因素方差分析，同时将儿童的智力、言语、工作记忆、抑制控制和认知灵活性作为协变量进行控制．结果表明，3组数学成绩的提高程度间存在显著差异，F(2, 45)=6.832，P=0.003；两两比较的结果表明，数感训练后中等组（P=0.022）和低分组（P=0.001）学生数学成绩的提高显著高于高分组，但中等组和低分组之间的差异不显著（P=0.220）．也就是说，自适应的数感训练对不同数学水平儿童的干预效果不同，自适应数感训练对中等和低数学成绩学生的干预效果较好，结果见图4．

图3 实验组和对照组学生在数学成绩上的前后测结果

表2 数感训练组中儿童在各个任务上的描述性统计

高分组中等组低分组P 数感能力（0~1） 0.79（0.13） 0.75（0.12） 0.75 （0.16）0.570 数学能力（0~34）19.87（2.23）15.30（0.32）10.80 （2.73） 0.000*** 智力（0~60）34.47（6.81）33.04（6.98）32.39（7.00）0.706 言语（0~154）38.96（7.16）39.56（8.94）33.47（10.51）0.136 工作记忆（0~1） 0.68（0.16） 0.72（0.14） 0.62（0.17）0.209 抑制控制和认知灵活性（0~1） 0.69（0.14） 0.73（0.11） 0.69 （0.13）0.555

注：表中***表示P<0.001．

图4 数感训练组中不同水平儿童的数学成绩提高的差异

4 讨论

研究者在进行数感训练时考虑了个体间的差异，探讨了基于个体水平的数感训练对低年级儿童数学能力的影响．结果表明，数感训练不仅可以提高儿童近似数量系统的精确性，还可以提高儿童的数学成绩；自适应的数感训练对不同数学水平儿童的干预效果不同，自适应数感训练对中等数学成绩和低数学成绩学生的干预效果较好．

4.1 数感训练对数学能力的影响

已有的数感干预研究在训练时并没有考虑不同个体间的差异，每个被试每次接受的都是同样的训练．但在实际数学教学过程中，同一班级中不同学生间存在着如性别、一般认知能力、社会经济地位（SES）等的许多差异，个体差异不可避免成为影响教学成果的重要因素．研究结果表明：在不同数学水平儿童间自适应数感训练的干预效果存在显著差异．这一结果证明了在数感训练时考虑个体差异的必要性．未来研究应当再增加一个普通数感训练组，与自适应数感训练组进行比较．如果研究表明普通数感训练下不同数学水平儿童成绩提高的差异大于自适应数感训练的话，就更可以支持数感训练时考虑个体差异的必要性和可行性．除此之外，自适应的数感训练对儿童的数学能力具有提升作用的研究结果，具有重要的现实应用意义，这些结论启示教师在数学教学中应从学生的实际出发，因材施教．从更严谨的意义来说，同样的未来研究应再增加一个普通数感训练组，与自适应数感训练组进行比较，以探讨到底哪种数感训练的效果会更好．

（三）亚急性型和慢性型 亚急性和慢性多在急性期后出现，病程长约15～20 d，病猪轻度发热或不发热，体温在39.5℃～40℃有不同程度的自发性或间歇性咳嗽，食欲减退，肉料比降低，病猪不爱活动，驱赶猪群时常常掉队，仅在喂食时勉强爬起；慢性期的猪群症状表现不明显，若无其他疾病并发，一般能自行恢复，同一猪群内可能出现不同程度的病猪。

研究发现，数感训练可以有效提高儿童的数学成绩，这与以往的研究结果一致[5–10]．但这一因果关系发生作用的内在机制仍不清楚．Park和Brannon（2014）虽然探讨过数感训练对数学能力产生影响的内在机制，但Park等训练时采用的是非符号计算任务，也就是先将两组点阵进行加或减的运算后，再与第三组点阵进行比较[7]．结果发现，儿童进行加减运算的心理操作是导致这一训练产生影响的关键因素．但此处所用的非符号比较任务不同于Park所用的非符号计算任务．在进行不存在点阵加减过程的数感训练情况下，加减运算的心理操作仍是导致数感训练产生影响的内在机制吗？未来研究仍需继续探讨近似数量系统在数学加工中的认知与脑机制．

建立用水总量控制制度，实施区域取用水总量控制与管理，加强规划和项目建设布局水资源论证工作，严格取水许可审批管理，加强地下水取水总量控制和水位控制，核定并公布地下水禁采和限采范围。建立用水效率控制制度，以农业灌区、工业园区、生活社区为载体，大力推进节水型社会建设，建立健全有利于节约用水的体制和机制，严格建设项目节水“三同时”管理，加强用水户水量平衡测试，建设工业和城镇生活节水示范工程。建立水功能区限制纳污制度，核定水域纳污容量，建立水功能区水质达标评价体系，完善饮用水水源地突发事件应急预案，提高突发水污染事件应急能力。

4.2 数感训练对不同水平儿童数学能力的影响

研究者探讨了数感训练对不同水平儿童数学能力的影响，与研究假设一致的是，数感训练对不同数学水平儿童的影响存在差异，有两方面的证据予以支持．首先，Szkudlarek（2018）按照儿童前测数学成绩的高低分为两组，探讨了非符号计算的训练对哪一类儿童的训练效果更好，结果发现非符号计算训练对前测数学成绩差的3~5岁幼儿的训练效果更显著[30]．非符号比较任务和非符号计算任务的本质都是用来提升儿童数感能力的任务，既然非符号计算训练对数学成绩差的儿童的干预效果更好，那非符号数感训练应该也会出现相似的结果．其次，在有关英语学科的研究中，不同的干预对不同成绩水平学生的影响是不同的．如中等水平尤其是低水平学生在英语课堂中，引入同伴互助学习策略后的阅读成绩取得显著进步[31]；问题预览模式对高水平学生听力测试成绩的影响效果最大[32]；不同阅读水平的学生在参加评述性阅读教学实验后所取得的进步不一致，中等阅读水平学生成绩明显提高[33]．而学科成绩间具有相关性，有研究表明，数学和阅读成绩间显著相关[34–35]．因此推测在数学学习领域可能同样会存在不同学习成绩学生的训练效果不一致的结果，研究结果支持了这一猜想，发现自适应的数感训练对不同数学水平儿童的影响不同，自适应数感训练对中等数学和低数学成绩学生的效果较好．数感训练对不同数学水平学生的干预效果不同，那不同水平学生数学能力提高的方面是否会有所不同？未来研究可以继续探讨．

4.3 教育启示

教师在未来的教育及干预中，要设计更有针对性的措施来促进儿童数学能力的发展．这里的针对性有两方面含义．一是针对不同个体．每个学生都是独立的个体，每个学生数学能力的发展水平不同，同样一个课程，有的学生接受得快而有的学生却很难学会．因此教师在教学过程中，针对同一个教学任务，要考虑到不同儿童的发展特点、接受知识的速度，要因材施教，不能一概而论．二是针对不同水平．适合低分组学生的方法不一定适合高分组学生，因而为了更有效地提高数学成绩，针对不同数学水平的学生设计不同的训练方法势在必行．总之，小学数学教材中有关数感内容的设计与编写应符合儿童的年龄发展特点，而教师在数学教学过程中应尊重学生的个体差异性，并且多采取将儿童数感能力的培养与计算机技术相结合的方式，在提高低年级儿童学习数学的兴趣的同时，又可以更加动态、更有针对性地提高儿童的数学能力．

提升小学低年级学生数学成绩的方法多种多样，研究者所探讨的数感训练只是其中之一，并不是说家长或教师只能采取这种方式来提高学生的数学成绩．在学生数学学习过程中，家长和教师应摆脱依赖书本的应试教育，教师在教学中提供丰富的学习情境，家长在生活中引导孩子丰富学习形式．寓教于乐，寓学于乐，才能让学生真正接受数学、喜欢数学．

5 结论

通过一个月每周两次的集体训练，研究者得出以下几点结论：第一，基于个体水平的数感训练可以提高儿童近似数量系统的精确性；第二，基于个体水平的数感训练可以有效提高儿童的数学成绩；第三，经过数感训练后，不同水平儿童的数学成绩提高程度存在差异，自适应数感训练对中等数学成绩和低数学成绩学生的干预效果较好．在未来的教育及干预中，要设计更有针对性且多样化的方法来促进儿童数学能力的发展．

［参考文献］

[1] AUBREY C, GODFREY R, DAHL S. Early mathematics development and later achievement: further evidence [J]. Mathematics Education Research Journal, 2006, 18 (1): 27–46.

[2] JORDAN N C, KAPLAN D, RAMINENI C, et al. Early math matters: kindergarten number competence and later mathematics outcomes [J]. Developmental Psychology, 2009, 45 (3): 850–867.

[3] LEFEVRE J A, FAST L, SKWARCHUK S L, et al. Pathways to mathematics: longitudinal predictors of performance [J]. Child Development, 2010, 81 (6): 1 753.

[4] LIBERTUS M E, FEIGENSON L, HALBERDA J. Is approximate number precision a stable predictor of math ability? [J]. Learn Individ Differ, 2013, 25 (25): 126–133.

[5] HYDE D C, KHANUM S, SPELKE E S. Brief non-symbolic, approximate number practice enhances subsequent exact symbolic arithmetic in children [J]. Cognition, 2014 (131): 92–107.

[6] PARK J, BERMUDEZ V, ROBERTS R C, et al. Non-symbolic approximate arithmetic training improves math performance in preschoolers [J]. Journal of Experimental Child Psychology, 2016 (152): 278.

[7] PARK J, BRANNON E M. Improving arithmetic performance with number sense training: an investigation of underlying mechanism [J]. Cognition, 2014 (133): 188–200.

[8] PARK J, BRANNON E M. Training the approximate number system improves math proficiency [J]. Psychological Science, 2013, 24 (10): 2 013.

[9] RASANEN P, SALMINEN J, WILSON A J, et al. Computer-assisted intervention for children with low numeracy skills [J]. Cognitive Development, 2009, 24 (4): 450–472.

[10] WANG J J, ODIC D, HALBERDA J, et al. Changing the precision of preschoolers’ approximate number system representations changes their symbolic math performance [J]. Journal of Experimental Child Psychology, 2016 (147): 82.

[11]  FEIGENSON L, DEHAENE S, SPELKE E. Core systems of number [J]. Trends in Cognitive Sciences, 2004, 8 (7): 307–314.

[12] 王乃弋，罗跃嘉，李红．两种数量表征系统[J]．心理科学进展，2006，14（4）：610–617．

[13]  HALBERDA J, MAZZOCCO M M, FEIGENSON L. Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement [J]. Nature, 2008, 455 (7 213): 665–668.

[14]  CANTLON J F, PLATT M L, BRANNON E M. Beyond the number domain [J]. Trends in Cognitive Sciences, 2009, 13 (2): 83–91.

[15]  XU F, SPELKE E S, GODDARD S. Number sense in human infants [J]. Developmental Science, 2005, 8 (1): 88–101.

[16]  LIBERTUS M E, ODIC D, HALBERDA J. Intuitive sense of number correlates with math scores on college-entrance examination [J]. Acta Psychologica, 2012 (141): 373.

[17]  DEHAENE S. Varieties of numerical abilities [J]. Cognition, 1992 (44): 1–42.

[18]  PIAZZA M, FACOETTI A, TRUSSARDI A N, et al. Developmental trajectory of number acuity reveals a severe impairment in developmental dyscalculia [J]. Cognition, 2010 (116): 33–41.

[19]  INGLIS M, ATTRIDGE N, BATCHELOR S, et al. Non-verbal number acuity correlates with symbolic mathematics achievement: but only in children [J]. Psychon Bull Rev, 2011, 18 (6): 1 222–1 229.

[20]  LINSEN S, VERSCHAFFEL L, REYNVOET B, et al. The effect of a symbolic versus nonsymbolic game-based numerical magnitude processing intervention on numerical magnitude processing and arithmetic [J]. Acta Psychologica, 2016 (165): 34–42.

[21]  LYONS I M, BEILOCK S L. Numerical ordering ability mediates the relation between number-sense and arithmetic competence [J]. Cognition, 2011, 121 (2): 256–261.

[22]  TOSTO M G, PETRILL S A, MALYKH S, et al. Number sense and mathematics: which, when and how? [J]. Developmental Psychology, 2017, 53 (10): 1 927–1 939.

[23]  STARR A, DEWIND N K, BRANNON E M. The contributions of numerical acuity and non-numerical stimulus features to the development of the number sense and symbolic math achievement [J]. Cognition, 2017 (168): 222–233.

[24]  CHEN Q, LI J. Association between individual differences in non-symbolic number acuity and math performance: a meta-analysis [J]. Acta Psychologica, 2014 (148): 163.

[25]  MAZZOCCO M M, FEIGENSON L, HALBERDA J. Impaired acuity of the approximate number system underlies mathematical learning disability (dyscalculia) [J]. Child Development, 2011, 82 (4): 1 224–1 237.

[26]  VAN M K, CHU F W, LI Y, et al. Acuity of the approximate number system and preschoolers’ quantitative development [J]. Developmental Science, 2014, 17 (4): 492–505.

[27] TIKHOMIROVA T, KUZMINA Y, MALYKH S. Does symbolic and non-symbolic estimation ability predict mathematical achievement across primary school years? [J]. ITM Web of Conferences, 2018 (18): 4 006.

[28]  MUSSOLIN C, MEJIAS S, NOEL M P. Symbolic and nonsymbolic number comparison in children with and without dyscalculia [J]. Cognition, 2010 (115): 10–25.

[29]  WANG J J, HALBERDA J, FEIGENSON L. Approximate number sense correlates with math performance in gifted adolescents [J]. Acta Psychologica, 2017 (176): 78–84.

[30]  SZKUDLAREK E, BRANNON E M. Approximate arithmetic training improves informal math performance in low achieving preschoolers [J]. Frontiers in Psychology, 2018 (9): 606.

[31] 顾红燕．同伴互助学习策略在大学英语阅读教学中的应用[D]．济南：山东大学，2010：86．

[32] 李静欣．问题预览对高低水平学生听力测试成绩的影响[D]．重庆：西南大学，2007：89．

[33] 李雨蒙．评述性思维在高中英语阅读教学中的应用[D]．荆州：长江大学，2014：83．

[34]  PURPURA D J, JAR L, HASSINGERDAS B, et al. Why do early mathematics skills predict later reading? The role of mathematical language [J]. Developmental Psychology, 2017, 53 (9): 1 633.

[35]  VAN D H M, ELIA I, ROBITZSCH A. Effects of reading picture books on kindergartners’ mathematics performance [J]. Educational Psychology, 2016, 36 (2): 323.

Effects of Adaptive Number Sense Intervention on Mathematical Ability in Second-Grade Children

JIA Yan-pu1, ZHANG Li2, XU Zhan1

(1. Faculty of Psychology, Southwest University, Chongqing 400715, China; 2. School of Sociology and Psychology, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China)

Absrtact:The purpose of this study was to explore effects of adaptive number sense intervention on the mathematical ability in the second-grade children by using the design of pretest and post-test experiment. In the current study, 90 students (mean age=7.89) were randomly allocated to two groups. The treatment group performed the non-symbolic comparison task twice a week which was to train number sense, while the control group doing nothing. After one month, the adaptive number sense intervention improved their precision of number sense, as well as their mathematical performance. However, as for training effect, there was no significant difference between children of different mathematical levels.

Key words:second-graded; adaptive number sense intervention; mathematical ability

收稿日期：2019–01–30

基金项目：全国教育科学“十二五”规划青年项目——发展性计算障碍儿童的认知缺陷成因（EBA130366）

作者简介：贾砚璞（1995—），女，山西侯马人，硕士生，主要从事儿童数学认知研究．张丽为本文通讯作者．

中图分类号：G632.4

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2019）02–0030–05

引用格式：贾砚璞，张丽，徐展．自适应的数感训练对低年级儿童数学能力的影响[J]．数学教育学报，2019，28（2）：30-34．

[责任编校：陈汉君、张楠]