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诚请数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿 投稿微信：ABC-shuxue 作者介绍：金晓江，男，中学一级教师，研究方向：初等数学，绍兴鲁迅中学任教，柯桥区百名优秀青年教师，在《中学数学杂志》，《中学数学教学》，《数学教学通讯》《数学通讯》等期刊发表多篇论文。 高中数学最大的魅力在于其抽象性，而数学符号语言更是其抽象性的重要体现，故数学符号语言的重要性不言而喻。纵观近几年高考，max{ a，b} 与 min{ a，b} 这一数学符号频繁出现，但学生的得分率屡创新低，一些学生甚至无从下手，本文就 max{ f( x) ，g( x) } 与 min{ f( x) ，g( x) } 型函数进行分类解析，并给出一般求解策。 关键字：分类讨论；数形结合；绝对值不等式 所谓 max{ f( x) ，g( x) } 与 min{ f( x) ，g( x) } 型函数，是指在定义域内的不同部分，取两个或者两个以上函数值最大的函数式或者函数值最小的函数式。符号记作 max{ f( x) ，g( x) } 与 { f( x) ，g( x) } 。 常见解决max{ f( x)，g( x) }，min{ f( x)，g( x) } 型函数的方法有分类讨论，数形结合以及利用文中重要性质结合不等式知识进行放缩。 如下分别介绍六种载体所对应题型的常见处理方法。 方法总结：解决max{ f( x) ，g( x) } ，min{ f( x) ，g( x) } 的问题分两步走：第一步，画图象；第二步，求交点坐标． 解析：本题虽然没有以 min{ x，y} ，max{ x，y}的形式呈现问题，但是可以转化为求函数 max{ x，y}的最值，从而顺利找到问题的突破口。 解法1：由于此题中带有二元参数，考虑到 b 又是无拘束的自由变量，故在利用函数图象处理时，可把 b 看成主元，暂把 a 看成参数，画出整个带参函数，如图 5 加粗部分。 方法总结：处 理 max{ f( x) ，g( x) } 与 min{ f( x) ，g( x) } 型函数图象时，碰到一元或者多元参数函数时，要正确识别主元和含参字母的作用，牢记“降维”的思想。 方法总结：利用max{ f( x) ，g( x) } 与min{ f( x) ，g( x) } 的性质，转化为不等式问题，进一步进行放缩求解，亦是一种较好的处理方式。
方法总结：利用max{ f( x) ，g( x) } 与min{ f( x) ，g( x) } 的性质，结合绝对值三角不等式一步到位求解，亦是一种较好的处理方式。
方法总结：解决max{ f( x) ，g( x) }与min{ f( x) ，g( x) } 型问题可以采用分类讨论，求出每一部分的范围，最后取并集即可。
方法总结：此题以 min{ f( x) ，g( x) } 型函数为背景，结合函数的零点个数问题，数形结合，加上线性规划区域的知识，巧妙求解。
方法总结：此题以Cn=（an bn）/2 |an - bn|/2为基础，结合数列，实质还是取大函数，但由于数列是特殊的函数，这种特殊性体现在其离散型，故处理过程中又增添了其复杂性和挑战性。解法1准确把握两数列的图象，抓住核心，一招制胜。而解法2巧妙避开了取大函数的背景，在{ cn } 数列上直接处理，开门见山，最终转化为求解绝对值不等式问题。 max{ f( x) ，g( x) } 与 min{ f( x) ，g( x) } 型函数问题，是近来各地模拟和高考的热点与难点之一，而且这类问题也常常作为压轴题型出现。 所以要成功解决这类问题，除了对其知识载体的关注外，更要准确掌握此类题型的求解对策，如数形结合，往往能起到事半功倍的效果，当然有时也要注意简单的含参分类讨论，还可以考虑不等式直接放缩，甚至考虑绕道而行进行转化处理等等，只有提高思维的灵活性，方能在解题时宠辱不惊。 |
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