【原】高中数学题型技巧3　利用导数研究恒(能)成立问题

高中数学题型技巧3　利用导数研究恒(能)成立问题

题型一 分离参数求参数范围

例1　已知函数f(x)＝ae^x－2x＋1.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；

(2)若f(x)>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝e^x－2x＋1，

则f′(x)＝e^x－2，

思维升华　分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)_max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)_min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)_min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)_max.

跟踪训练1　

题型二 等价转换求参数的范围

例2  (12分)(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝e^x＋ax²－x.

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥1/2x³＋1，求a的取值范围．

解　方法一　(1)当a＝1时，f(x)＝e^x＋x²－x，

f′(x)＝e^x＋2x－1.

思维升华  对不适合分离参数的不等式，常常将参数看成常数，直接构造函数，转化成求函数的最值问题．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝e^x－ax.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x∈[0，＋∞)时，都有f(x)>－a，求实数a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝e^x－a(x∈R)，

当a≤0时，f′(x)>0，

∴f(x)在R上单调递增；

当a>0时，令f′(x)>0⇒x>ln a，

解得1<a<e².

综上，函数a的取值范围为(－1，e²)．

题型三 双变量的恒(能)成立问题

∴h(x)_max＝h(1)＝1，

故a≥1.

∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．

思维升华　“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有

(1)∀x₁，x₂∈D，f(x₁)>g(x₂)⇔f(x)_min>g(x)_max.

(2)∀x₁∈D₁，∃x₂∈D₂，f(x₁)>g(x₂)⇔f(x)_min>g(x)_min.

(3)∃x₁∈D₁，∀x₂∈D₂，f(x₁)>g(x₂)⇔f(x)_max>g(x)_max.

跟踪训练3　已知函数f(x)＝x－1－aln x (a<0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

所以实数a的取值范围为[－3,0)．