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鸡兔同笼 《孙子算经》卷下第31题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?答曰雉二十三，兔一十二。 【译文】今有鸡兔同笼，上有头35个，下有脚94只。问鸡兔各多少？答鸡23只，兔12只。 这就流传千年的经典数学问题“鸡兔同笼”，它解法有很多，下列三种算术算法： （下面内容适合小学生阅读） 【解法一】（算术解法之一）以兔脚为主元思考： 设想头35全是兔，则应有35×4=140只脚，这样多出46只脚，可以用兔替换同样数目的鸡来减少脚数，每去掉一只兔，（换进一只鸡）减少2只脚，需要去掉多少只兔（即换进多少鸡）才能减少46只脚？显然 有鸡46÷2=23， 有兔35-23=12， 若用数学综合式计算为 有鸡（35×4-94）÷（4-2）=23， 有兔35-23=12. 答：鸡23只，兔12只. 【解法二】（算术解法之二）以鸡脚为主元思考： 分析自己思考，同理可得 若用数学综合式计算为 有兔（94-35×2）÷2=12 有鸡35-12=23 答：鸡23只，兔12只. 疑问：为什么不可以用头为出发点考虑，是因为鸡兔都是各有一个头吗？ 答：解决问题的出发点往往是从寻找差异出发，是突破口亦是落脚处。 若从头出发，可用配凑的方法（假设有20只鸡，15只兔，那么就会有（20×2＋15×4＝）100 只脚，比实际多出了（100－94＝）6只，这是因为把鸡看成兔，每只多算了2只脚，共把（6÷2＝）3只鸡看成兔，加上原来的20只鸡共有23只鸡，12只免。）或者上述方法（假设鸡兔各有头2只，解法大概同二略），虽然麻烦显得蠢了些或不符合生活常识，但生活中的用处可能要比上两种大的多，方法没有优劣，思想同样可贵。（但方法对具体问题有繁简之分） 【解法三】（算术解法之三）金鸡独立法： 孙子算经 孙子给出的解法是：上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七……。 意思就是：假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。 可以类似得出下面方法（即上述解法二，但表述、构造的情景都不同）：假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。 翻译成算术方法就是： 兔数（94÷2）－35＝12（只） 鸡数35－12＝23 （只） 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。 反思：解法巧妙而有趣，但突破点仍似“魔术师帽子里的兔子”，不易使个别学生掌握。张景中院士提出一种解释可谓独具匠心，他从学生的常识出发，自然地引出了解答。 先问：“兔有四只脚，为什么鸡只有两只脚”这岂不是太不公平了吗？” 经过思考，学生会找到理由：“不是不公平，鸡还有两只翅膀呢！” 问：“如果翅膀也算脚，总共该有多少只脚？” 这容易回答：35×4＝140，140只脚。 “但题中翅膀不算脚，只有94只脚，可见有多少翅膀呢？” “140－94＝46，46只翅膀！” 于是学生兴奋地喊出来：“23只鸡！” 这种解法，每个学生都能立即理解，即使不再复习，半年后他们仍能回忆起来。这个例子告诉我们，要充分利用学生认知结构中已有的知识去创设问题情景，这样有利于学习中的正迁移的发生，能促进新知识的掌握、巩固和应用。 （以下内容适合家长及“以上”文化者阅读） 孙子给出的解法前文只列出了前面一部分，实际上还有后半部分“以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得。又术曰：上置头，下置足，以头除足，以足除头，即得。”傻眼了吧，看得懂的人恐怕就没有几个了吧！（实际上“上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五”我也不太懂） 如果以现在的观点来看，孙子在解决这个问题时，很可能利用了方程的思想。 由于头条不识别公式编辑器，故用图 即笼中有鸡23只，兔子12只。 这是典型的代数解法，代数法解应用题有代数设想、代数翻译、解代数方程等步骤：代数设想的主要内容是设想问题已经解出，未知存在，用字母表示。尽量用字母表示已知，平等看待已知和未知量，允许施行代数运算。其目的是为翻译打基础。代数翻译是将题目的条件用数学的关系表示出来，找出未知与已知间的联系，常常表现为从不同的角度看待同一个量。接下来的代数解法就不太难的了。 实际上所有的问题可归为两步：一是解决思想问题，就是如何做，包括条件分析、思路整理、方法选择等等；二是具体操作，就是对具体知识的运用。 小学生现在陷入题海难以自拔，于是老师或家长（图省事）总结公式、小孩子死记公式，久而久之小孩子养成死套公式的恶习或使之今后害怕数学。 算术解法对家长来说之所以难，是因为家长在后期的训练当中，人学的“懒”了，喜欢简单直接，不喜欢深入分析，对“简单”的小学数学题思辨、抽象的能力反而更弱了。 下面给出一种解决这种问题的一个手段，学好了人人都是辅导高手（只要可以用二元一次方程组解的都可以但不限于此，也可以自己推而广之）。 先用二元一次方程组解决本题，（如上图中）你看出了解法一与方程组解法的关系了吗？ 解法一就是方程组中（①×4—②）÷2的结果，家长要注意的就是不化简、不约分尽量用原题中的数字。你看懂了下面的关系式了吗？ 同理可以求的兔的只数。 解法二就是方程组中（②—①×2）÷2的结果，即 余下内容同理于上诉解释故略去。 解法三就是方程组中②÷2－①的结果。 方程组①中的变量系数分别是1、1，②中的系数分别是2、4，故而为了弥合系数的差异有三种手段，①式有乘以2或者乘以4两种选择，②式有除以2一种选择（实际上还可以除以4，你能想出一个合理的解释吗？或者创设一个小学生好理解的情景）。 分析到此，可以看出算术解法不过是代数解法另一种表述方式而已，接下来的关键点是你能否找到一种小学生好理解的解释了，我曾经写出来上面的算式让儿子自己解释其理由效果较理想，毕竟能说的出所以然的才算是真的会了吧（上面张景中教授的解释堪称经典）！ 感想：首先，家长在长期的社会化过程中，逐渐丧失本已具有的直观能力，更喜欢抽象、逻辑故而会在辅导小孩子时捉襟见肘、手足无措，会做而不会讲，会讲但孩子听不懂（还说孩子笨）。希望家长可以蹲下来，用孩子的眼睛看孩子，用孩子的思维来感受世界。 其次，若真的想辅导好孩子，就要多花心思、多花时间，你的精彩讲述就是孩子的福气，你干瘪的絮絮叨叨就是孩子的噩梦，也是全家的噩梦。 解题反思是个大问题 类题：（家长试试你需要用几分钟看出下面两个问题类似“鸡兔同笼”的） 1、 12张乒乓球桌上一共有34个同学在比赛，你知道正在单打和双打的乒乓球桌各有几张。 2、 30枚硬币，由2分和5分组成，共9角9分，则2分硬币有几枚，5分硬币有几枚。 注：如果关注的朋友较多，准备多更新一些古算诗题来致敬古代数学家。 |
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