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数学家研究的是什么？ 英国著名数学家阿蒂亚指出：“答案应该不会使任何人感到惊讶——他研究的是方程。 首先，在最低层次上，是代数方程； 然后，在较高水平上，是微分方程。 这个极度的简化至少有容易被理解的优点。” 回顾数学史，方程犹如一条明显的红线贯穿始终，一部早期代数史就是研究方程、讨论方程解的历史。而一元二次方程位于其中有着无与伦比的奠基地位，堪称初中数学的大BOSS，古中国的《九章算术》、古埃及的纸草文书、古希腊的欧几里得等，都研究过特殊的一元二次方程的解法。 它是中学阶段学习各类方程的基础，许多方程最终都可归结为解一元二次方程。 它在代数学习中起着承上启下的作用，即是对已学过的知识(实数、整式、分式、根式和一元一次方程）的巩固和加深，又是为今后学习指数、对数、三角函数方程、不等式、函数等内容奠定基础。 它是解决问题的有力武器，很多题目与生活中许多实际复杂问题的解决都与它有关。 它也是初中数学学习的重难点，中考必考的重要内容，在全国各地的中考数学试卷中所占分数大约如下： 不管是选择题、填空题，还是解答题都常光临。纵观近年来与一元二次方程相关的开放题、探索题、阅读理解题更逐渐成为中考命题的热点，多以社会关注点为素材，分值较高。 因此，2021年想学好初中数学就一定要把一元二次方程学扎实，这对分式方程、二次函数等综合问题都有很大帮助。 而在这过程中，如果能掌握这一张图涵盖的相关知识点，也就基本意味着能横扫这个初中3年数学的大BOSS。  01  熟记打倒BOSS的6种解法 我们先用一张思维导图来熟记针对不同类型一元二次方程的基本解法选择：
作为中考命题的重点，一元二次方程的解法贯穿于试卷的高、中、低档题，命题形式多种多样，常与实数运算，代数式的变形与求值、函数等有关内容紧密相连，多见于填空题和选择题，也常与其它知识一起出现在综合题目中。 因此，掌握并能灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法4种解法至关重要。 其中，公式法和配方法虽然适用于所有一元二次方程，但比较麻烦。直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，不适合所有方程，但非常简便，可优先选用。如2020年湖南常德中考数学中就有进行考察： 在基本方法的基础上，常见解法还有主元法和换元法，凸显结构、降次基本思想。 主元法 在解多变元问题时，我们可选择其中某个变元为主要元素，当做主元，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个变元的按降幂排列的多项式，则能排除变元间的干扰，使解题过程格外简洁自然，以一道上海交通大学自主招生试题为例： 换元法 2020年中考数学中，内蒙古呼和浩特市和湖北荆州市都有考察换元法：
 02 巧化三类复杂方程 为狂野的方程世界施以秩序 2018年英国剑桥大学的数学家Caucher Birkar获得了数学最高荣誉菲尔兹奖，作为一个将秩序带给无限次方程组的创新者，他找到了无数种多项式方程的内在规律，虽然它们由不同变量不同幂次构成，但它们可以巧妙地被归为几个类别。 而破解数学中看似混乱的各种代数方程，最好的方法是发现它们的共同之处，比如分式方程、无理方程、高次方程等较复杂的方程（组）都可化为一元二次方程。 分式方程 新课程标准明确指出：方程中的分式不超过两个，这降低了计算难度，同时利用这一思路可迁移为解可化为一元二次方程的分式方程，方法是把分式方程划归为整式方程，灵魂是去“分母”，比如这道湖北省麻城一中的预录试题：
无理方程 根号下含有未知数的方程叫无理方程。通过有理化，化无理方程为有理方程，是解无理方程的基本思路，因为进行的方程变形可能扩大了未知数的允许范围，故解无理方程必须检验，如下列方程：
高次方程 换元与降次是求解高次方程（组）的基本思想，以一道“希望杯”邀请赛试题为例：
03 从算术头脑到代数智慧 用方程式解决各种实际问题 从小学列算式到初中列方程，其中的重大跨越在于将综合性的算术头脑转变为分析性的代数智慧，这是最难最重要的一环，也是人类思想的一大飞跃。 通过研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组等步骤，我们获得了一种求出未知量的解题思路和策略，这被称为方程思想。它是解决各类计算问题的基本思想，也是运算能力的基础。 “近代科学始祖”笛卡尔就曾在他的著作《指导思维的法则》中提出一个重要法则：
他称这个法则为“万能代数模型”，说它“万能”其实有些夸张，但它却揭示了方程思想远比一般技巧更具意义，虽然它不能用于所有场合，但它确实能用于许多场合，其中包含许多重要场合。 比如，一元二次方程作为方程模型的重要代表，许多问题都可以转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解，应用于以下方面： 求代数式的值
2 列二次方程解应用题
3 解相关几何问题
无论是代数、几何，还是解存在性、图形元素个数确定、图象焦点、最值等问题，一元二次方程都是一门强大的武器，能在初中数学的世界里攻城掠地。并常以增长（降低）率问题、面积问题、数字问题、商品利润问题、规律探究型问题等各类实际问题进行一元二次方程应用的中考考察。 如2020年浙江省湖州市中考23题的最后一问，通过建立方程运用判别式求解，可避免几何法的分类讨论。
著名物理学家杨振宁曾言：“牛顿的运动方程、麦克斯韦方程组、爱因斯坦的狭义与广义相对论方程、狄拉克方程……它们以极度浓缩的数学语言写出了物理世界的基本结构，可以说它们是造物者的诗篇。” 方程作为刻画现实世界的有效模型之一，以简洁的形式再现了人类揭示物质运动、光耀电闪、时空变幻的不懈探索与曲折历程，还没有任何一种人类的表达方式可以与之匹敌，最重要的是它们如此令人惊讶地影响着人类历史和我们的日常生活。 这是一种了不起的、划时代的思考方式，为我们架起从已知探索未知的桥梁，而能学会自己创立方程式，用方程思想解决各种实际问题，不仅能让我们中考解题能力得以提高，初中数学入门通关，还能让我们对世界的看法也提升一个层次。 |
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