【原】【分式方程的增根】

分式

增

根

方程

 

上海中考试题

-=-1

常规解法

解：3-=-+3
        -4+3=0
       (-1)(-3)=0
            =1或3
经检验：=1是原分式方程的解，=3不是原分式方程的解，
所以=1.

增根的历史

13世纪之后至18世纪中叶以前,很少有数学家关注分式方程.斐波那契、桑德森等在解分式方程时都没有遇到增根的情形.

拉克洛瓦在出版于1800年的《代数基础》中,给出了含字母系数的分式方程的解法,并考虑了当字母系数使得根的分母为零时,方程无解,但他并未发现方程存在特殊根,也没有验根的意识,因而与增根和失根问题失之交臂.

1880年左右,分析的严密化运动引发了人们对于“零能否作除数”问题的大讨论,这在一定程度上促进了分式方程理论的发展,数学家们开始将分式方程作为一个专门的课题来研究.

1882年,美国康乃尔大学数学教授奥利弗等在其《代数专论》中讨论了分式方程的解法,对增根问题已经有了比较清晰的认识.

1899年,宾夕法尼亚大学的费歇尔和施瓦特在《代数基础》中给出了一种不会失根也不会产生增根的解法.

-=-1
解：-=-1
                     =-1
                             =1
                              =1

为什么会产生增根

当常规解法中的“去分母”不是同解变形的时候就会产生增根，此题中，分式方程的未知数不能取0或3，当化为整式方程后，这个限制就消失了(或者被忽略了).

解：-=-1(≠0，3)
             3-=-+3(≠0，3)
                    -4+3=0(≠0，3)
             (-1)(-3)=0(≠0，3)
                           =1(≠0，3)

参考文献

数学史与初中数学教学—理论、实践与案例
汪晓勤 栗小妮 华东师范大学出版社 2019

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思维无限.