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3 （南宁三中 许兴华数学） 如果一个人对数学思维方法非常感兴趣，那这个人一定会天资聪颖、智慧过人！你们相信吗？有一些人学数学时有一个致命的毛病，就是“没有足够的耐心去看完一篇理论性的数学文章”。你是这样的人吗？那就看看你是否有足够的耐心来认认真真地研读完这篇文章了。哈哈！ 什么是数学思维呢？ 简单地说就是，数学思维是人脑和数学对象(空间形式、数量关系、结构关系)交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学思维具有一般思维的根本特征,但又有自己的个性特征。这主要表现在思维活动的运演方面,它是按照客观存在的数学规律的表现方式进行的,即具有数学的特点和操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简练、准确和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向。 从本质上来说，数学学习或研究应该看成是数学思维过程和数学思维结果这二者的有机综合。因而，也许我们可以说数学思维是“动”的数学,而数学知识本身是“静”的数学。数学知识是数学思维活动的产物。作为数学知识体现的数学科学具有内容和表现形式的抽象性、结论的精确性、推理和结构的严谨的逻辑性,以及其结果在生产、生活和科研领域中广泛的应用性等特点。但是，在数学思维过程中,并非与数学知识的表述一样,离不开抽象的逻辑思维,而是综合地、交错地运用了抽象思维与形象思维以及直觉思维。正是由于各种思维形态的协同运用,数学家们才能具有更灵活的创造性去发现数学新知识、解决新问题。 因此,从一般思维的特性和数学的特点这两个方面的结合来分析,就可以得出数学思维的特性主要是概括性、抽象性和相似性（可类比性）。 一、数学思维的概括性 数学思维的概括性是由于数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系。这些本质特征和规律,能够把握一类事物共有的数学属性。思维的概括性还在于它的迁移性,就是使主体不仅能从部分事物相互联系的事实中推知普遍的与必然的联系,而且能将这种联系推广到同类现象中去,即应用已知的数学关系去解决有关问题。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深度、灵活迁移的程度以及创造程度,因此提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。 二、数学思维的抽象性 数学问题，很多都是需要高度的抽象思维的。下面我们举的这几个例子，可能是与高考数学无关的，但它们能很好地说明“数学思维的抽象性”。 【例2】如图5所示，四边形ABCD是一个直角梯形，而四边形AECD是一个矩形，试证明：（1）线段DC和线段AE上面的点是一样多的； （2）线段DC和线段AB上面的点是一样多的。 【问题解说】这个第一问的证明，我们的学生绝大多数都没有问题，但第（2）问恐怕很多学生就感觉受不了了：这你老师不是明明在骗人吗？线段AB和CD相比，AB很明显地比CD 多出了一个线段EB上的无数个点，为什么AB与CD的点是一样多的呢？ 其实，我们可以这样理解：如图6所示，延长AD与BC的延长线相交于点F，在线段AB上任意取一点M，连结FM，则FM与DC相交于唯一的一点N。反之，在线段DC上任取一点N，则射线FN必与线段AB相交于唯一的一点M.这说明线段DC与线段AB上的点是“一一对应”的。这个一一对应就正好证明了“线段DC和线段AE上面的点是一样多的”！——这就是数学高度的抽象性。关于这点好像有很多学生感觉是非常难以理解的。再看一个例子。 有一次，我在《今日头条》的“微头条”上面给出了一个挺简单的“大众数学”题目如下： 【例3】试证明：在区间(0，1)内有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数。 其实，这真的是一个简单题目，但基础差的学生竟然无从下手！原因就是，这个题目的证明，需要用到“构造性”的思维方法。 三、数学思维的相似性 事实上，数学思维的相似性是普遍存在的,特别是在创造性思维活动中发挥着极其重要的作用。在数学科学发展史上,数学知识的发现存在着相似现象。例如牛顿和莱布尼兹几乎同时独立地发现了微分方法。秦九韶和海伦也是先后独立地发现三角形的面积公式。 数学的发展就其思维活动的规律而言,是对各种数学模式的探求。解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式,从已解决的问题中概括出思维模式,再用模式去处理类似问题。并进而形成新模式,构成相似系列,即各种概念、命题与方法的相似链。数学思维的相似性是对数学问题之间以及题本身的条件与结论之间的同与异这个矛盾的分析和转化。因此,相似性是数学思维的一个重要特性。
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