初中数学：平凡的“中位线”，不可小视的“中位线”

在涉及三角形及梯形的证明和计算题中，经常会用到“中位线理论”。“中位线理论”出现在初中数学“平行四边形及特殊的四边形”相关内容里。在四边形的求证，特别是有关线段长度求证和计算过程中，利用中位线理论，有时可以意想不到的便利。三角形的求证思路，也可以从平行四边形相关求证方法中借鉴一二。

考虑到初中数学的数形结合证明题中，有时会出现涉及梯形的求证题型，而且梯形的中位线与三角形中位线的使用方法相通，因此，本文将梯形中位线做为拓展知识一起讲述。需要注意的是，“中位线理论”在三角形的求证题型中，应用的次数要多于四边形。

一、中位线定义：

把连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线。

梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，注意：连结两腰中点的线段，不是连结两底中点的线段。

二、中位线的性质：

1、三角形的中位线：平行于第三边，并且等于第三边的一半。（这里要注意：中点的位置；中位线与第三边的位置和数量关系）。

梯形的中位线：平行于两底，并且等于两底和的一半。

2、中位线的应用范围：

①判别线段的位置（平行）关系

②确定线段的大小、倍数、和差等关系；

③计算图形中某线段的长度：利用中位线起到“桥梁枢纽”关系；

3、中位线应用“提示”：数形结合类题目中，尤其在三角形求证类题目，已知条件出现“某线段中点”，或者在证明过程中出现“某线段的中点”内容，就要联想到“中位线理论”。

4、运用方法：在解题过程中，尽可能添找中点，确认、或者利用辅导线构建包含带有中点的三角形，或者梯形（四边形，或者是平行四边形），使用含有中点的线段，重新构建三角形。梯形题型的解法类似于三角形和四边形，“举一反三”即可。

5、中位线定理的可逆：

①经过三角形一边中点，平行于另一边的直线，必定平分第三边；

②经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必定平分另一腰；

由“中位线定理”的可逆性，联想到“平行线截比例线段定理”，这个定理在相似三角形有关内容的求证时应用比较广泛：一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也必定相等。

6、分清“中位线和中线”的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

三、例题：

【例1】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF=GC。

【解析】在初中知识中，能证明线段相等的方法通常是两种：①等边对等角；②证明全等。采用何种方法，与题中给出的条件和暗示相关：前者需要有角度的提示，或者出现证明角度相等的隐含提示；后者则是比较通用的方法，只要能找到符合证明普通三角形全等定理的条件，就可以证明。但本题明显不属于两者中任意一种。于是，从题目中已知条件“E是CD的中点，F是AE的中点”寻找到解题突破口：联想到“中位线定理”，通过 “中位线”构筑“平行四边形”，进而利用平行四边形的性质：“平行四边形的对角线相互平分”，可以求证。

【解析】取BE中点H，连接FH，CH。

∵F是AE的中点，

∴FH∥AB，AB=2FH

又 ∵ CD∥AB，E是DC的中点，

∴AB=2DE=2EC

∴CE∥FH，CE=FH

∴四边形FHCE是平行四边形，

∴GF=GC

【例2】已知：在△ABC中，BC>AC， AD=BC，连结DC。过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N。∠AMF=∠BNE。

【解析】若想证明∠ENB=∠AMF，考虑到已知条件中“E、F是AB、DC的中点”，因此，最好的方法是添加辅导线，利用中位线和平行线的关系求证。

【证明】取AC的中点H，连结HF，HE

∵F是DC中点，H是AC中点，

∴△ACD中，HF∥AD，AD=2HF

∴∠AMF=∠HFE（两直线平行，同位角相等）

同理，在△ACB中，HE∥BC，BC=2HE

∵AD=BC

∴HF=HE

∴∠HEF=∠HFE

∴∠AMF =∠ENB

最后，赘述一句：在“数形结合”的解题过程中，首先要“读懂题”，理解题意，“题目说的是什么、求什么”；其次要注意“题设与求证”之间“需要用什么方法联通”，深挖“题设部分与求证部分的内容之间，涉及到哪些定理定律”。找到彼此之间的联络，解题思路就会顺然而开，至于解题方法，其实排在第三位。这也是平时所谓的“解题思维”。（昨天的一篇文章，不小心信用分被扣10分，真令人沮丧。谢谢您的本次阅读，敬请继续关注作者“观海松说教育”。如果您有更好建议，敬请评论分享。）