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初中几何定理归纳

2012-03-08  LYJ974735...
初中几何定理归纳
三角形三条边的关系
定理:三角形两边的和大于第三边
推论:三角形两边的差小于第三边

三角形内角和
三角形内角和定理  三角形三个内角的和等于180°
推论1  直角三角形的两个锐角互余
推论2  三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论3  三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

角的平分线
性质定理  在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言:
∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)
    PE⊥OA,PF⊥OB
    点P在OC上
∴PE=PF(角平分线性质定理)
判定定理  到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上
几何语言:
∵PE⊥OA,PF⊥OB
    PE=PF
∴点P在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理  等腰三角形的两底角相等
几何语言:
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
推论1  等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何语言:
(1)∵AB=AC,BD=DC
     ∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
(2)∵AB=AC,∠1=∠2
     ∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
(3)∵AB=AC,AD⊥BC
     ∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
推论2  等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于60°
几何语言:
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定
判定定理  如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
几何语言:
∵∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
推论1  三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言:
∵∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)
推论2  有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言:
∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)
∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)
推论3  在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
几何语言:
∵∠C=90°,∠B=30°
∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线
定理  线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言:
∵MN⊥AB于C,AB=BC,(MN垂直平分AB)
    点P为MN上任一点
∴PA=PB(线段垂直平分线性质)
逆定理  和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
几何语言:
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形
定理1  关于某条之间对称的两个图形是全等形
定理2  如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3  两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
逆定理  若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理
勾股定理  直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即
a2 + b2 = c2

勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理  如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形
四边形
定理  任意四边形的内角和等于360°
多边形内角和
定理  多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n - 2)·180°
推论  任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质
性质定理1  平行四边形的对角相等
性质定理2  平行四边形的对边相等
推论  夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定理3  平行四边形的对角线互相平分
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC,AB‖CD(平行四边形的对角相等)
∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对边相等)
AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定
判定定理1  两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD‖BC,AB‖CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
判定定理2  两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵∠A=∠C,∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
判定定理3  两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD=BC,AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
判定定理4  对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
判定定理5  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD‖BC,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形
性质定理1  矩形的四个角都是直角
性质定理2  矩形的对角线相等
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD(矩形的对角线相等)
∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)
推论  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言:
∵△ABC为直角三角形,AO=OC
∴BO= AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
判定定理1  有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言:
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
判定定理2  对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言:
∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形
性质定理1  菱形的四条边都相等
性质定理2  菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
几何语言:
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)
AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC
(菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角)
判定定理1  四边都相等的四边形是菱形
几何语言:
∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)
判定定理2  对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言:
∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形
性质定理1  正方形的四个角都是直角,四条边都相等
性质定理2  正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
中心对称和中心对称图形
定理1  关于中心对称的两个图形是全等形
定理2  关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
逆定理  如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

梯形
等腰梯形性质定理  等腰梯形在同一底上的两个角相等
几何语言:
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)
等腰梯形判定定理  在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
几何语言:
∵∠A=∠B,∠C=∠D
∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线
三角形中位线定理  三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半
几何语言:
∵EF是三角形的中位线
∴EF= AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理  梯形的中位线平行与两底,并且等于两底和的一半
几何语言:
∵EF是梯形的中位线
∴EF= (AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段
1、  比例的基本性质
如果a∶b=c∶d,那么ad=bc
2、  合比性质
3、  等比性质

平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理  三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
几何语言:
∵l‖p‖a
(三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)
推论  平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
定理  如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径
垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵OC⊥AB,OC过圆心
(垂径定理)
推论1
(1)       平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵OC⊥AB,AC=BC,AB不是直径
(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧)
(2)       弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵AC=BC,OC过圆心
(弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧)
(3)       平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
几何语言:
(平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧)
推论2  圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言:∵AB‖CD

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理  在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等
推论  在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角
定理  一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1  同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2  半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角
推论3  如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形
定理  圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
几何语言:
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°,∠B+∠ADB=180°,∠B=∠ADE
切线的判定和性质
切线的判定定理  经过半径的外端并且垂直于这条半径的

直线是圆的切线
几何语言:∵l ⊥OA,点A在⊙O上
                ∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理  圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A
                ∴l ⊥OA(切线性质定理)

推论1  经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2  经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理
定理  从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
                ∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)

弦切角
弦切角定理  弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是
                ∴∠BCN=∠A
推论  如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 , =
                ∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被焦点分成的两条线段长的积相等
几何语言:∵弦AB、CD交于点P
                ∴PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径

所成的两条线段的比例中项
几何语言:∵AB是直径,CD⊥AB于点P
                ∴PC2=PA·PB(相交弦定理推论)


切割线定理  从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项
几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线
                ∴PT2=PA·PB(切割线定理)

推论  从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
几何语言:∵PBA、PDC是⊙O的割线
                ∴PT2=PA·PB(切割线定理推论)

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