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热身练习 1、如图点A，B，C三点共线，点D,E分别是线段AB，AC的中点，已知AB=8， AC=2, 则DE的长为_______；  2、若点A，B，C三点共线，且点A为线段BC上的动点（不与B,C重合），点D,E分别是线段AB，AC的中点,已知BC=10，则DE的长为______； 3、在2中，条件都不变，BC=12，则DE的长为______. 由上面的热身练习可知，无论A在BC上什么位置，只要满足D是AB中点，E是AC中点， 则DE与BC的数量关系保持不变.（位置关系也不变）. 做一做 改变点A的位置，使点A不在BC上，但D、E仍然是AB,AC的中点， 猜想DE与BC的关系，  想一想 由上图，  当A不在BC上时，改变A点位置，改变BC长度，都可以得到，DE与BC有特殊的数量关系，DE是BC的一半.通过验证，发现，DE与BC是平行的.DE这条线是三角形中非常重要的一条线段，称为三角形的中位线. 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线. 定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.  如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，则： DE∥1/2BC，DE=1/2BC. 证明 分析：想要证明DE与BC的关系，这里的1/2如何处理是关键 . 思路1：倍长 延长DE至F，使得EF=DE，如图  此时只需要证明DF与BC平行且相等，考虑证明四边形DBCF是平行四边形.   实际上，AC与DF互相平分， 易得四边形ADCF是平行四边形， 则AD与CF平行且相等， 则BD与CF平行且相等， 则四边形DBCF是平行四边形 所以DF与BC平行且相等 则命题得证. 思路2：截长 取BC中点F，则BF=1/2BC，只需要证明DE与BC平行且相等    即证明四边形DBFE是平行四边形，怎么证明呢？问题归结为已有条件D,E是AB,AC中点怎么使用？ 连接FE并截取EG=FE（或者也可以延长FE交BC的平行线AG于G,可得到一组全等三角形）易得平行四边形AFCG,则AB与FG平行且相等，则BD与FE平行且相等，则四边形DBFE是平行四边形，则DE与BF平行且相等，则命题得证. 通过猜想，验证，证明，我们得到了三角形的中位线定理. 使用三角形中位线定理的关键： 找中点的连线以及与之相关的三角形. 辨识：中线与中位线 名称 图示 特征 三角形的 中线  顶点与对边中点的连线， 与三角形的一边中点有关 三角形的 中位线 三角形两边中点的连线，与三角形两边中点有关. 应用 1、如图, 在△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点 （1）图中共有几个平行四边形？为什么？ （2）图四个小三角形有什么关系？ （3）若AC=4cm，BC=6cm，AB=8cm， 则△DEF的周长= _______ （4）若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_______ 根据三角形中位线的性质定理，可以得到很多特殊的性质，如图，连接三角形的三条中位线，将原三角形分成了四个全等的三角形.中位线构成的三角形周长等于原三角形的周长的一般，面积为原三角形面积的1/4. 2、如图, 在四边形ABCD中,D、E、F、G分别是AB、BC、CD、DA边的中点. 思考1：四边形EFGH有什么特殊的性质？ 分析：有很多中点的连线，但并无三角形，可以考虑构造与中位线相关的三角形，连接AC,或BD，或者同时连接AC，BD可以解决问题. 易得四边形EFGH一定是平行四边形. 此四边形也称为中点四边形，任意四边形的中点四边形一定是平行四边形. 思考2：四边形EFGH的面积与原四边形有什么关 分析： 设BD交中点四边形EFGH于PQ,易得，四边形EPQH时平行四边形，由练习1可得，四边形EMDH时平行四边形，根据等底等高，可得平行四边形EMDH的面积与平行四边形EPQH的面积相等，再由练习1所得结论，可得，平行四边形EPQH的面积为△ABD面积的一半，同理可得，四边形PFGQ的面积是△BCD面积的一半. 中点四边形EFGH面积是原四边形ABCD面积的一半.这个结论对任意四边形都成立. 思考3：四边形EFGH的周长与原四边形的什么有关？ 分析：直接上图， 连接AC,BD可得，四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD的和. 变式1：将相对边上的两个中点移到对角线的中点 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BD、BC、 AC、AD的中点. 思考：四边形EFGH是平行四边形吗？ 提示：如图 利用三角形中位线定理即可. 变式2：如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AC, BD的中点, 求证：2EF＜AB+DC 分析：借助变式1思考，如图 追问： 若AB=CD， 上图中有等腰三角形吗？ 易证得，如图所示的蓝色三角形是等腰三角形. 变式3：如图,在四边形ABCD中,E,F分别为BD, AC中点, AB=DC,EF交AB于P,交CD于Q,且BA,CD的延长线交于点M， 求证：MP=MQ 三角形中位线定理中有平行线出现 ，这样就产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系，又由于中位线等于底边的一半。 并且平分两腰，这样就出现了线段之间的等量关系。 更主要的是定理将角的等量关系与线段的等量关系有机地联系在 一起，因此这个定理在几何题的证明中，特别是在证明两直线平行或线段的等量关系或角的等量关系中，起着独特的作用，有时甚至非它莫许。因此凡是题设中有中点出现，就不妨设法应用中位线定理来进行证明，也许很有效。 |
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