初中数学平行四边形知识，早看早受益！

一、知识框架

二、知识梳理与拓展应用

01平行四边形

1.平行四边形的定义及性质

(1)平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形用“

”表示。

(2)平行四边形的性质：

①平行四边形的对边相等。

②平行四边形的对角相等。

③平行四边形的对角线互相平分。

④平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

2.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(4)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

关键提醒

运用哪个定理进行判定应根据具体条件而定。

应用“一组对边平行且相等”时，一定是指同一组对边既平行又相等若一组对边平行，另一组对边相等，有可能是平行四边形，也有可能是等腰梯形。

3.三角形的中位线

(1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。

(2)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边 的一半。

关键提醒

中位线不是中线。

三角形中位线定理的特点：在同一题设下，有两个结论，一个结论表示位置关系，另一个结论表示数量关系。

三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍数关系。

例1：如图1所示，在△ABC中点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高。

(1)求证：四边形ADEF是平行四边形。

(2)求证：∠DHF＝∠DEF。

图1

解析：(1)借助三角形的中位线定理证明。

(2)根据平行四边形的对角线相等等性质证明。

证明：(1)因为点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

所以DE、EF都是△ABC的中位线，

所以EF∥AB，DE∥AC，

所以四边形ADEF是平行四边形。

(2)因为四边形ADEF是平行四边形，

所以∠DEF＝∠BAC，

因为D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，

所以DH＝AD，FH＝AF，

所以∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，

因为∠DAH＋∠FAH＝∠BAC，∠DHA＋∠FHA＝∠DHF，

所以∠DHF＝∠BAC，

所以∠DHF＝∠DEF.

02特殊的平行四边形

1.矩形

(1)矩形：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形。

关键提醒

矩形的概念是研究矩形的基础，既可以看作是矩形的性质，又可以视为矩形的判别方法。

(2)矩形的性质如下：

①矩形的四个角都是直。

②矩形的对角线相等。

知识拓展

矩形具有平行四边形的一切性质。

矩形既是中心对称。又是轴对称图形，对称中心为对角线的交点，对称轴为对边中点所在的直线。

(3)矩形的判定定理如下：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形。

②有三个角是直角的四边形是矩形。

③对角线相等的平行四边形是矩形。

④对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

知识拓展

若易证是平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可得矩形；

对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形)，对角线相等且互相平分的四边形为矩形。

例2：已知：如图2所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。

(1)求证：四边形ADCE为矩形。

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形?并给出证明。

图2

解析：(1)根据有三个角是直角的四边形是矩形可证。

(2)根据正方形的判定结合(1)中结论可证。

解(1)证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

所以∠BAD＝∠DAC，

因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

所以∠MAE＝∠CAE，

所以∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，

又因为AD⊥BC，CE⊥AN

所以∠ADC＝∠CEA＝90°，

所以四边形ADCE为矩形。

(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形。

理由：因为AB＝AC，

所以∠ACB＝∠B＝45，

因为AD⊥BC，

所以∠CAD＝∠ACD＝45°，

所以DC＝AD，

因为四边形ADCE为矩形，

所以矩形ADCE是正方形，

所以当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形。

2.菱形

(1)菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形

(2)菱形的性质如下：

①菱形的四条边都相等。

②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

知识拓展

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴；

菱形是特殊的平行四边形，其面积求法与平行四边形的面积求法相同，其面积等于底乘以相应底上的高。

另外，由于菱形的两条对角线互相垂直平分，将菱形分成4个全等的直角三角形，因此菱形面积＝4×

两条对角线长之积＝

×两条对角线长之积。

(3)菱形的判定定理如下：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

四边都相等的四边形是菱形。

例3：如图3所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC.

(1)求证：四边形ADCF是菱形。

(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长。

图3

解析：(1)根据旋转可得AE＝CE，DE＝EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，即可得四边形ADCF是菱形。

(2)首先利用勾股定理可得AB的长，再根据中点定义可得AD＝5，根据菱形的性质可得AF＝FC＝AD＝5，进而可得答案。

解(1)证明：因为将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，

所以AE＝CE，DE＝EF，

所以四边形ADCF是平行四边形，

因为D、E分别为AB，AC边上的中点，

所以DE是△ABC的中位线，

所以DE∥BC，因为∠ACB＝90，

所以∠AED＝90°，所以DF⊥AC，

所以四边形ADCF是菱形。

(2)在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，

所以AB＝10，

因为D是AB边上的中点，所以AD＝5，

因为四边形ADCF是菱形，所以AF＝FC＝AD＝5，

所以四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28.

3.正方形

(1)正方形：四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形。

(2)正方形的性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。

关键提醒

正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，有4条对称轴；也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

(3)正方形的判定定理如下

①定义：一组邻边相等的矩形是正方形。

②有一个角是直角的菱形是正方形。

③对角线相等的菱形是正方形

④对角线互相垂直的矩形是正方形

关键提醒

以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法。如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，既是菱形又是矩形的边形是正方形等，可以根据实际情况灵活选择。

判别正方形的一般顺序：a.先说明它是平行四边形；b.再说明它是菱形(或矩形)；c.最后说明它是矩形(或菱形)

矩形判定条件＋菱形判定条件＝正方形判定条件。

例4：如图4所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE：

(1)求证：CE＝AD。

(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由。

(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形?请说明你的理由。

图4

解析：(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可推出。

(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定即可推出。

(3)求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定即可推出。

解(1)证明：因为DE⊥BC，所以∠DFB＝90°，

因为∠ACB＝90°，所以∠ACB＝∠DFB，所以AC∥DE，

因为MN∥AB，即CE∥AD，所以四边形ADEC是平行四边形，

所以CE＝AD.

(2)四边形BECD是菱形.

理由是：因为D为AB中点，所以AD＝BD,

因为CE＝AD，所以BD＝CE，因为BD∥CE,

所以四边形BECD是平行四边形，

因为∠ACB＝90°，D为AB中点,

所以CD＝BD，所以四边形BECD是菱形.

(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由如下

因为∠ACB＝90°，∠A＝45°，所以∠ABC＝∠A＝45°，

所以AC＝BC，因为D为BA中点,

所以CD⊥AB，所以∠CDB＝90°，因为四边形BECD是菱形,

所以四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.