罗增儒：数学解题的四个水平

六神有主 2019-07-23

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文/罗增儒

回顾我从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师以来的40年），我看到了一条清晰的“学解题、教解题”线路：由“记忆模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，已经进入到“自觉理解”的阶段。这里的四个关键词：模仿、练习、领悟、理解，正好体现为数学解题的四个水平。

如果题目不会解、解不出来那就还没有显示出水平。从能得出题目答案开始算，如果只会记忆模仿那是水平1，如果能够完成变式练习那是水平2，如果能够通过解题获得思维感悟那是水平3，如果能自觉通过解题分析去增强数学理解、提高数学素养那是水平4。趁此《高中数学解题研究》（第10辑：2019高考精彩压轴题）出版的机会，我将其作为“一个中国解题者的学习案例”或“一个中国学习者的解题案例”总结为经验性的认识（辅有具体案例），就教于广大数学同行。

1、学解题四个水平的认识。

（1）数学解题的记忆模仿阶段（水平1）。

这一阶段的表现是，模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题，能套定理公式，但稍一变化就会思维受阻；解题常常只是为了完成任务，解题的目的就是获得答案；题目解完之后没有反思自己是怎么想的，也说不清用了哪些知识、哪些方法。

这一步中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好：记忆的敏捷性（记得快），记忆的持久性（记得牢或忘得慢），记忆的准确性（记得准），记忆的准备性（便于提取）。停留在这一阶段的记忆主要是机械记忆，缺少自觉的理解记忆。

记忆和模仿都是必要的，学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈也都从模仿开始，每节课后的数学作业基本上都是模仿性练习。波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在《帮你学数学》（第46页）中说“摹仿是学习的开始”。至于“不要死记硬背”的告诫，也不是要否定“记”而是要否定“死”。但是，仅仅停留在记忆模仿阶段是不够的，还需要领悟和理解，有些同学“课堂上讲的还能够听懂，课后作业常常遇到困难”，个别老师“课堂上讲过的题目，过上几周学生来问，自己都不会了”，就是停留在记忆模仿的水平上。

（2）数学解题的变式练习阶段（水平2）。

这一阶段的表现是，做数量足够、形式变化的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用。其作用首先是通过变换方式或添加次数来增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会。许多学生经过充分练习之后，题型积累有所增加，解题操作更加熟练，确实能解决一些形式变化的问题了；还有学生在获得答案之后也能说说自己是怎么想的，用了哪些知识、哪些方法，有的题目亦能进行一题多解。多数学生和广大教师能达到这个水平。

“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式练习”是这一传统在解题教学上的重要体现，它作为一种学科活动可以成为感悟解题思想、接近数学实质、形成学科素养的载体和通道。

记忆模仿、变式练习主要体现了“模式识别”的解题策略。它是学生获得本质领悟的基础或必要前提。但是，“没有理解的练习是傻练，没有练习的理解是空想”。因此，对学解题而言，更重要的是跨越模仿和练习而产生领悟。

（3）数学解题的自发领悟阶段（水平3）。

这一阶段是在变式练习的基础上产生初步感悟，表现为个体经验的生成。如：对解题思路的探求能够开始有意识的设计；解题不仅要获得答案，不仅能说出自己的思路，有时还能领悟当中的解题思想、解题方法和问题的深层结构，间或还能一解多题，并作出一些推广。但是，这种领悟带有自发的性质和隐性学习的特征，常常是“只可意会，不可言传”。

这三个阶段，体现了“接受记忆知识——练习巩固知识——顿悟形成理解”这样一个逐步深化的认识过程，是传统教学所熟悉的。能够进入“自发领悟”阶段也标志着数学学习的一种觉醒，即已经感悟到解题学习需要“理解”（如同不仅会用数学归纳法的两个步骤，而且能去理解方法的无穷三段论本质）。但是，这种领悟长期停留在自发的和个性化的层面上，表现为一个漫长而又不可逾越的必由阶段（会存在高原现象），目前的很多学生就被挡在、或停留在这一步。我自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、自发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题教与学还应该有第四阶段。

（4）数学解题的自觉理解阶段（水平4）。

这一阶段表现为，能在领悟解题的基础上，进一步做到数学问题的迅速识别，解题思路的主动设计、知识资源的理性配置、解题方法的灵活运用、解题策略的适宜调控，解题过程的自觉反思，努力通过解题去获得数学的理解，使认识进入深层结构。能从数学操作和正确答案中看到数学知识和数学方法的应用，能从数学知识和数学方法中看到数学思想和思维策略的指导，能从数学思想和思维策略中提炼（DNA）数学核心素养，获得态度、情感的熏陶，形成正确价值观念、必备品格和关键能力。

问题是怎样通过解题获得理解，我的建议是：自觉的解题反思，通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”。操作上通常要经历整体分解与信息交合两个步骤（参见拙著《中学数学解题的理论与实践》）。自觉的解题反思与检查验算是有区别的，它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示。

当前的重点应是加强第四阶段的教学与研究，这是一个无限广阔的创造空间。

2、学解题四个水平的案例。

下面，通过一组涉及组合数的题目来做说明。

（1）体现水平1的解题。