前向后项差分和显式隐式欧拉法

摘要：
本文主要介绍前向后向差分，显式隐式欧拉法及其稳定性分析。
前向差分对应显式方法，后向差分对应隐式方法。显式欧拉法是比较流行的显式方法，隐式欧拉法是比较流行的隐式方法。
显式欧拉法条件稳定，对积分步长有要求，隐式欧拉法无条件稳定，对积分步长无要求（理论上如此，但实际使用中对积分步长仍然有要求，只是比显式欧拉宽松）。

1. 前向差分与后向差分

设一元函数函数离散化为一系列的点，，其中，, , 称为步长。

1.1 前向差分（Forward Difference）

1. 前向差分的定义：
   之所以称之为前向差分，是因为当前时刻的差分，是下一时刻位置（时间向前前进一步）与当前时刻位置之差。

2. 高阶前向差分
   根据上式递归可得k阶前向差分公式为：
   例如，二阶前向差分公式为：
   
   　　　
   　　　
   　　　
   　　　

1.2 后向差分（Backward Difference）

1. 后向差分定义：
   由定义可以看出，当前时刻的差分，是当前时刻的位置与前一时刻的位置之差。

2. 高阶后向差分
   同上，k阶后向差分公式为：
   因此，二阶后向差分公式为：

1.3 差商和导数

1. 差商就是差分除以步长，即，

2. 在数值计算中，需要以差商代替导数，即，
   

• 如果使用前向差分，则为显式方法，例如，

• 如果使用后向差分，则为隐式方法，例如，

2. 显式欧拉和隐式欧拉

设有一阶常微分方程很多时候我们无法求出函数的解析解，只能通过数值方法逼近，即，将时间离散为一系列的点其中， 我们要做的就是求函数在这些离散的时间点上的值

2.1 显式欧拉（Explicit Euler）

• 显式欧拉公式：
  之所以称之为显式，是因为下一时刻的值，可根据当前时刻的值及其导数 显式地给出。

• 另一种角度看上面的公式：从当前时刻出发，根据当前时刻的函数值及其导数，可得到下一时刻的值。因此显式欧拉法又称为前向欧拉（Forward Euler）

• 再从另一个角度看，我们把上面的公式做一下变形可得 即，显示欧拉就是用前向差商代替导数。

2.2 隐式欧拉（Implicit Euler）

• 隐式欧拉公式：
  之所以称之为隐式，是因为上式是一个隐式方程。

• 另一种角度看上面的公式：将上式做一下变形可得：从当前时刻出发，根据当前时刻的函数值及其导数，可得到前一时刻函数的值。因此隐式欧拉法又称为后向欧拉（Backward Euler）

• 再从另一个角度看，我们把上面的公式做一下变形可得 即，显示欧拉就是用后向差商代替导数。

2.3 例证欧拉法的稳定性

设有一阶常微分方程 我们知道，这个常微分方程的解析解为 当时， 那么分别用显式、隐式欧拉法会得到什么呢？
1. 显式欧拉法条件稳定（Conditionally Stable）
根据显式欧拉法公式，

为了保证上式收敛，需要保证, 得，
即，为了保证显式欧拉的稳定性，需要保证时间步长，即，条件稳定.

2.隐式欧拉法无条件稳定（Unconditionally Stable）
根据隐式欧拉公式，
则，
又，则恒大于1。即不管时间步长为多大，隐式欧拉始终稳定，即无条件稳定.

注意：实际应用中，隐式欧拉需要求解隐式方程，通常也是使用逼近的方法（例如，Newton-Raphson）求解，因此实际的隐式欧拉方法并不是无条件稳定的。

3.一般形式的稳定性分析，我目前还没有掌握。