 相关知识点 【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示！ 1．积分与路径无关的等价刻画定理 设为平面上的单连通区域，函数, 在内有连续的一阶偏导数，则下面的四种说法等价： (1) 在区域内存在可微函数，使得 (2) 在区域内成立 (3) 对于任何一条完全落在区域内的光滑或分段光滑的闭曲线，有 (4) 对于区域内的任何两点，积分 的值只与两点的位置有关，而与在区域内的路径无关. 2．原函数对于单连通区域上的微分式 若存在上的可微函数使得 则称函数为微分式的原函数。并且由积分与路径无关，通过取平行于坐标轴的折线段有 【注】 积分路径上（包括端点）不能有被积函数偏导数不连续的点。 3．欧拉方程求解具有结构 的变系数线性微分方程称之为 欧拉方程 。 令，则，于是有 记，, 即用乘以一个函数，就是对该函数求阶导数；并且关于符合乘法运算律和分配律，即有 所以 用数学归纳法可以验证， 将原欧拉方程中全部用上式代入，则可以将原方程转化为以为函数，为自变量的常系数线性微分方程 即 将求得的解的表达式中的用回代即得原方程的解。 视频解析 例题及参考解答 【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示！ 例： 设三次可微, ，求，使得 【参考解答】 令, , 根据对坐标的曲线积分积分与路径无关相关的四个等价条件和三次可微性，可知，即有 由此得 求解二阶微分方程的初值问题： 微分方程为一个欧拉方程。令中间函数，于是有 原方程等价于 这是一个常系数的，以变量为的齐次线性微分方程，特征方程为 于是可得通解为 由，回代可得原微分方程的通解为 由初始条件, ，可得, ，所以初值问题的特解为 将它代入习题的全微分等式，有 所以，根据积分与路径的无关性，并且两个被积函数在整个平面区域偏导数连续，所以取起点为原点，终点为，有 取积分路径先平行于轴，再平行于轴的积分线段，于是可得全微分的一个原函数为 因此，它的一般解为 相关推荐 全套高等数学内容小结，课件，典型例题、习题，专题练习和单元测试题，请点击公众号会话框底部菜单“高数线代 ”下的“高等数学概率其他 ”菜单. |
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