真实性学习 | 荷兰的数学教育有什么独特之处？

在最近的几次国际测试（TIMSS 和PISA）中，荷兰的数学成绩十分突出，始终排在九个西欧国家之首，也超过了美国、澳大利亚等国家。荷兰的数学教育有何独特之处？

在荷兰，有一种叫做“真实数学教育（Realistic Mathematics Education，简称RME）”的方法，最早由荷兰乌特勒支大学弗莱登塔尔（Freudenthal）数学与科学教育研究所提出。

这种方法认为数学是人的活动，因此数学教育应重视与现实生活的连接，设置真实情境，解决真实数学问题，从而学到真实的数学知识。让我们近距离看看荷兰的真实数学教育究竟是怎么一回事。

本文原载于《上海教育·环球教育时讯》2019年5月刊。更多信息，详见杂志。

 图1 荷兰数学课堂

真实数学教育的理论基础和特点

真实数学教育结合了弗莱登塔尔的“教导式现象学”（Didactical Phenomenology）、范希尔（Van Heile）的“数学学习阶层”（Mathematics Learning Class）和特莱弗斯（Treffers）的“革新的数学化思想”（Mathematical Thinking of Innovation）。

弗莱登塔尔认为数学是人的活动，因此数学教育应加强与现实生活的连接。在学习数学的过程中， 学生不是被动的接受者，而是通过各种机会或学习活动，与生活产生联系，赋予数学意义，从而再创造数学知识，实现有意义的学习。

数学教育需要从教学生“做数学”转向“再创造”数学。数学不应该是一个封闭的体系，而应该是一种活动，一种数学化的过程，但这种数学化的实现需要逐步达成。在教学过程中，教师可以遵循逐步形式化的原则——非正式阶段、预形式阶段和形式化阶段来设计和开展真实数学教育。

范希尔夫妇提出的几何学习的思维层次理论， 进一步深化了真实数学教育的内涵。他们认为学习是从具体的情境和学生非正式的知识开始的，在此基础上，学生通过后续的学习逐渐构建起自己的数学知识体系。特莱弗斯提出革新的数学化思想，将数学化分为横向和纵向，横向是把学习从现实世界转化到数学世界，纵向是数学知识本身的重组。这些思想奠定了真实数学教育的理论基础。

与传统数学教育不同，真实数学教育强调从生活经验出发，提供真实情境中的问题，帮助学生理解和应用数学概念，进而理解和应用特定的数学工具， 具体体现为三个方面： 

1. 现象探索（结合情境）：生活经验是学生学习的起点，因为对学生而言，面对真实生活经验，能够立即置身其中，理解相关问题也相对更加容易。

2. 互动关系：通过彼此的协商、讨论、合作，最终获得问题的解决方法，因为在这一过程中，学生解释、判断、表达同意或不同意，进而得到反馈。

3. 学习关联：知识本身是互相关联的，学习过程中要注重统整性。学习若被分割，将会失去其内在关联性，使得学习失去其意义。进一步说，倘若各科目彼此孤立，将会降低其应用价值，学生的学习兴趣也会受到影响。

真实数学教育的教学设计三阶段

真实数学教育理论认为学生认识和理解数学知识是从其日常生活或者非正式情境开始的，因此教学设计遵循逐步形式化的原则，从真实情境设计开始，逐步转向形式化的知识的学习。通过这样的设计和实践，让学生理解数学知识，并学会灵活应用。

真实数学教育的教学设计一般分为三个阶段：非正式阶段、预形式阶段和形式化阶段（如图2 所示）。

图2 真实数学教育教学设计的三个阶段

首先，在真实数学教育的教学设计中，问题情境是教学的开端，这样设计可以帮助学生从具体过渡到抽象，同时还可以唤起学生已有的知识，并能调用这些知识去解决新问题；

其次，学生了解了问题情境并进行了充分的思考之后便自然地进入预形式阶段，教师可以根据教学内容选择相对真实情境更加抽象的模型（比如表格、数轴、韦恩图等）来帮助学生实现对所学内容的深入理解；

最后，教学进入形式化阶段，在这一阶段，师生完全使用抽象的数学符号和模型进行讲授和讨论，学生的思维实现从非正式推理向正式推理的转化，数学知识也从具体升华为抽象，最终实现对所学知识和模型的灵活应用。

真实数学教育研究者用“冰山模型”展示逐步形式化的三个阶段在学生思维中的构成。以分数3／4的学习为例（如图3），最下面也就是“冰山”的最底层是学生思维的最深处，学生往往采用潜意识或者已有的知识体系进行信息处理，对应的是教学的非正式阶段。

在这一阶段，教师提供真实的情境引导学生学习，比如四分之三个圆、四分之三个苹果以及四分之三个披萨，学生通过回忆生活中熟悉的 形象来理解分数3／4这个概念；接下来呈现的信息稍微抽象化一点，也就是进入到预形式阶段，教师提供与分数3／4有关的几幅可视化材料，帮助学生进一步理解分数的含义；最后教学达到形式化阶段，学生在这个阶段将学习正式的数学知识，通过教师提炼或者指导，学生提炼出3／4的概念。在图中可以看到， 这种学习中，冰山露出水面的部分，即形式化学习的部分很小，但以水面之下更大的部分作为基础，学习才一步步得以实现。

图3 真实数学教育中逐步形式化的冰山模型示例

真实数学教育的教学设计案例

以对数函数的教学为例，如果使用真实数学教育的方法，课程将主要包括这样三个阶段：首先，在真实情境的问题中引入指数增长；其次，在第二个新的问题中探讨指数函数的运算法则；最后，在第三个问题中引入对数。具体教学设计如下： 

阶段一：非正式阶段——真实情境

问题1：两个好朋友各买了一匹小马驹，小马驹的质量都是50 千克。一个月之后，戴安的马驹长了10 千克，杰克告诉戴安自己的马驹长了20%，两人便约定一个月之后再比较。很快又过去了一个月，戴安的马驹还是长了10 千克，杰克的马驹长了20%。这两匹马被买来一个月后重量分别是多少？两个月后呢？ 

教师可以在课堂上用这个问题作为引入，陈述清楚问题内容之后，把主动权交给学生，学生可以独立解决也可以几个人讨论共同解决问题，然后教师纠正可能出现的错误理解，比如有的学生认为增长率相同，每次增长的体重也相同，最后引导学生区分线性增长和指数增长的区别。

阶段二：预形式阶段——知识迁移

在第一阶段——非正式阶段之后，教师需要继续给出一个更高难度的问题，让学生进行思考和迁移相关知识。

问题2：大肠杆菌每2 个小时繁殖出下一代（每个大肠杆菌都可以产生后代）。在试验开始时一共有128 个大肠杆菌，那么大肠杆菌的数量变化便是V（t）=128×2t，t 表示时间，每个单位表示2 个小时， V 表示大肠杆菌的数量。函数图如图4 所示。

图4 大肠杆菌数量随时间变化函数

根据函数图像，试验开始后1 小时（t=0.5）和3 个小时（t=1.5）后，大肠杆菌数量的估计值为多少？将所得两个估计值相除（3 个小时后的估计值为被除数），结果大概为2，为什么？使用图像计算器计算V（0.5）和V（1.5）的精确值。为什么V（0.5） /V（0） 、V（1）/V（0.5） 、V（1.5）/V（1）和V（2）/V（1.5）结果相同？上述比值是多少？这个比值的意义是什么？这个比值和增长因子2（每2 个小时）有什么联系？ 

通过这一系列问题的解决，学生进一步理解和运用所学的指数知识，为下一阶段学习对数这一相对抽象的内容做好铺垫。

阶段三：形式化阶段——正式知识

通过指数的相关知识的学习和研究，为对数的学习打好了理解基础，教学也进入到形式化阶段，学生需要内化和运用抽象的数学知识。

问题3：一个池塘的水草每天以翻倍的速度生长，即A=2t，图5 为前4 天的生长情况。

图5 水草前4 天生长情况

教师先让学生根据图像找出经过多少时间水草面积达到x 平方米，这是之前马驹问题和大肠杆菌问题的延伸。学生完成表格后，教师可以要求学生找出图像没有呈现的信息，即4 天之后的情况，然后给出以下数据： 

整个过程中，学生参与观察、归纳和验证，自己逐步建立起有意义的联系，开始形成自己对对数的理解，为进一步学习对数函数和对数运算性质打下基础。

同样的，整个教学设计过程也可以用“冰山模型”来示意，如图6 所示。

图6 真实数学教育示例——对数函数

作者 | 朱秋禹 刘 徽 （浙江大学教育学院课程与学习科学系）

编辑 | 谢然

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