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高考数学中数列不等式的证明方法.许兴华文摘

2019-08-08  许兴华数学


(许兴华数学/选编)

纵观近几年各地的高考数学卷, 我们不难发现, 数列不等式的证明正在悄然兴起 . 数列和不等式证明是紧密相连、互相渗透的,将数列与不等式结合起来构成的数列不等式,既具有数列的结构与性质特征,又具有不等式证明的思想方法 . 因其涉及面广、综合性强、难度较大,所以题目的区分度很大,有利于选拔高素质的数学人才;再者数列不等式在高等数学尤其是在数学分析的极限、级数中有着广泛的应用,因而这类问题在近几年的高考、自主招生考试、数学竞赛中屡见不鲜,成为考试的热点 . 但是数列不等式的证明经常要用到放缩法或数学归纳法等难度较大的数学方法,而这些方法需要考生有敏捷的数学观察力和熟练的代数变形能力,同时还要注意恰当的放缩度,技巧性强且难以操控,因而成为考生学习和考试的难点 . 下面笔者介绍几种常见的数列不等式的证明方法 .

【方法一】 放缩法

所谓放缩法即是从不等式的一边着手, 用不等式的传递性等性质, 舍去(或添上) 一些正项或者负项, 扩大或缩小分式的分子、 分母, 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标 . 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性 . “放缩法” 可以和很多知识结合, 对应变能力有较高的要求 . 因为放缩必须有目标, 而且要恰到好处, 目标往往要从证明的结论考察, 放缩时要注意适度, 否则就不能同向传递 .

【点评】 在数列求和型不等式证明中, 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式 . 若数列易于求和, 则选择先求和后再放缩;若数列不易求和, 要考虑先放缩后再求和的证明方法 . 本例题选择先放缩再求和, 但切记放缩后要易于求和且放缩得当, 若从第 1 项开始放大, 则会放得过大, 导致证明失败, 故在证明过程中选择从数列第 2 项开始放大, 恰到好处 .

【方法二】 数学归纳法

数学归纳法证明数列不等式可规避传统的不等式放缩来证明数列不等式中灵活多变的方法和高难技巧, 解题有明确的指向, 思维流畅自然, 使很多复杂的数列不等式的证明题迎刃而解, 具有较广泛的适用性 . 这样处理不等式问题既适应新课改的需求, 又符合 “淡化特殊技巧, 注重通性通法” 的新高考理念, 且能有效提高学生的思维能力和解题能力, 促进数学的高效学习, 值得在教学和解题训练中加以推广使用 。

【点评】不难发现, 用数学归纳法证明该题, 不仅不需要复杂的思维过程, 甚至连运算也变得机械化, 只需按照固定的程式按部就班地进行证明, 便可得到完美的结果 . 数学归纳法, 这种用以证明当 n 属于所有自然数时一个表达式的成立的证明方法, 却能以其独有的特点能让大多数考生容易接受并正确运用 . 近些年来, 数学归纳法在高中的数学教材中不仅占据着非常重要的地位, 同时也是高考中不可或缺的一种解题方法 。

【点评】 从表面上看, 加强命题使原问题变复杂了, 而实际上, 通过加强命题可以得到一个较强的归纳假设, 从而为归纳过渡的顺利完成奠定坚实的基础, 反而有利于原问题的解决 .

【方法三】 构造函数法

函数思想, 指运用函数的概念和性质, 通过类比联想转化合理地构造函数, 然后去分析、 研究问题, 转化问题并解决问题 . 有些不等式证明和比较大小的问题, 如能根据其结构特征, 构造相应的函数, 从函数的单调性或有界性等角度入手, 去分析推理, 证明过程就会简洁明快 。

【点评】 本题通过分析法, 将要证明的不等式进行变形,然后通过构造函数, 利用导数法研究函数的单调性, 进而解决问题 . 解答本题时有两个难点:一是构造不出函数, 想不到用分析法将原不等式进行变形;二是利用导数研究函数的单调性时容易出错 . 将数列问题函数化进行处理, 通过函数数列知识建立不等关系是顺利解答本题的关键 。

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