数学笔记-同济第七版高数(上)-第三章-微分中值定理-第五节

一、极大值与极小值

1、y=f(x)，(x∈D), x0∈D

（1）若存在δ>0, 当0<|x-x0|<δ时, f(x)>f(x0), 称x0为极小值点

（2）若存在δ>0, 当0<|x-x0|<δ时, f(x)<f(x0), 称x0为极大值点

推论：

若x=a为f'(x)的极值点 => f'(a)=a或f'(a)不存在，反之不成立

反例：(1)y=x^3; (2) [y=1+x(x<0),y=e^2x(x>=0)]

若x=a为f(x)极值点且f(x)可导 => f'(a)=0

2、求极值步骤

y=f(x)

（1）找准x的范围x∈D

（2）找出f'(x)等于0或者不存在的点x=......

（3）利用判别法判断是否为极值

法1：（第一充分条件）

1）当x<x0时，f'(x)<0, 当x>x0时，f'(x)>0, 则x=x0为极小值点

2）当x<x0时，f'(x)>0, 当x>x0时，f'(x)<0, 则x=x0为极大值点

例1：f(x)=x^3-6x^2+2 x∈(-∞,+∞)f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)f'(x)=0 => x1=0, x2=4x<0时，f'(x)>0，0<x<4时，f'(x)<0，x=0为函数的极大值点0<x<4时，f'(x)<0，x>4时，f'(x)>0，x=4为函数的极小值点

法2：（第二充分条件）

f'(x0)=0，若f''(x0)>0则x=x0为极小值点，若f''(x0)<0则x=x0为极大值点

例2：f'(1)=0, lim(x->1)f'(x)/sinπx=2, 问：x=1是什么点？法1：因为lim(x->1)f'(x)/sinπx=2>0所以存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时，f'(x)/sinπx>0x∈(1-δ,1)时，f'(x)>0，x∈(1,1+δ)时，f'(x)<0，则x=1为极大值点

二、最大值与最小值

前面讲的是极大值与极小值，那么在连续函数中最大值和最小值必然在极大值和极小值还有两端端点处的函数值取得。所以如果要求最值，就得将所有极值和两端端点函数值求出。

例3：求y=x^3-3x^2-9x+1（y∈c[-2,4]）的最值y'=3x^2-6x-9=3(x^2-2-3)=3(x+1)(x-3)令y'=0 => x1=-1, x2=3f(-2)=-1, f(-1)=6, f(3)=-26, f(4)=173所以max=173, min=-26

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例4：设p>1,证：当x∈[0,1]时， 1/[2^(p-1)]<=(x^p)+(1-x)^p<=1令f(x)=(x^p)+(1-x)^pf'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=0=> x=1/2f(0)=1, f(1/2)=1/[2^(p-1)]<1, f(1)=1所以1/[2^(p-1)]<=f(x)<=1即1/[2^(p-1)]<=(x^p)+(1-x)^p<=1