浅谈高斯消元法的几何意义

解方程组的时候发生了什么？    

  ----浅谈高斯消元法的几何意义

解方程组作为经典的代数问题，经常与几何联系起来，

例如两直线相交于一点对应一个二元一次方程组的一个解。

在线性代数（Linear Algebra）中，高斯消元法(Gauss Elimination)是解方程组的一种方法，利用了方程组的三种初等变换：

T1：交换两个方程的位置

T2：方程两边同乘以不为零的一个系数

T3：将某一个方程的倍数加到另一个方程上

利用高斯消元法解方程组已经是老生常谈，但是，在对方程组进行初等变换的时候，是否有人考虑过它们的几何意义呢？

来看一个简单的例子

两条直线AB,CD相交于E点，点的位置看得很清楚。

这两条直线对应的方程组是

解这个方程组的过程倒很简单，

直接把2式乘三(Gauss Elimination的T2)，

再加上1式(Gauss Elimination的T3)，

化简后(Gauss Elimination的T1、T2)得到

解得x=0.4, y=2.4

答案自然不必多说。但是我们的关注的重点并不是这个方程组，而是它对应的几何意义。

仔细分析过程，

我们把2式乘上三(Gauss Elimination的T2)，对应的图像并没有发生变化。

但是在加上1式之后(Gauss Elimination的T3)，图像突然改变了，直线CD猝不及防地变成了垂直于y轴的直线…

 …就像这样

What happened？？？

Gauss Elimination的T3： “将某一个方程的倍数加到另一个方程上”，

似乎让整个方程组的图像发生了本质的改变！！！

直接观察直线似乎不能得出什么结论，考虑到消元法这个过程改变了未知量前的系数。

我们不妨从系数的角度来思考。

众所周知，对于形如ax+by=c的直线，其系数a,b具有实际性的意义。容易得到（a,b）就是这条直线的法向量坐标，法向量即垂直于这条直线的向量。我们把它画下来：

向量FG和FH分别是两条直线的法向量，

其方向由x,y前的系数决定。

显然考虑消元法过程的本质，在这个例子中，就是将本来均不为零的x,y前的系数之一变成零。

在画出法向量的前提下重复一次消元，看结果如何

我们首先把2式乘三(Gauss Elimination的T2)，其法向量也随之变长。这一步不难理解：

进行下一步，

情况出现了戏剧性的转变——把两个式子相加

(Gauss Elimination的T3)，

等式左边未知量对应的系数加起来了

表现在向量上，就是两个直线的法向量的坐标之和。

因此，这一步用法向量表示的话，就是两个法向量相加：

相加的结果是一个新的法向量FK，其坐标为（0，-5）,

对应于新方程组中的第二个等式。

易知这个法向量对应的直线是平行于x轴的，

解方程得到其具体位置，

图中已用红色标记了相加所得法向量及其对应直线，

结果是直线恰好过原方程组两直线的交点E，

这是巧合吗？

所有人都会理所当然的回答“不是”

但是似乎很少会有人想，为什么？

这的确不是巧合，具体我们之后再说，

现在回到解方程的过程中：

我们换个角度，消去y，再看图像：

2式乘二(Gauss Elimination的T2)，即将向量FH延长一倍：

然后将向量FG减去向量FH，得到向量HG，

其对应直线用蓝色标记：

可以看到，向量HG平行于x轴，对应直线依然经过交点E

显然，两次消元的结果都是

将原方程对应直线的法向量转化成了平行于坐标轴的法向量

其对应直线正好经过两直线的交点。        

 为什么法向量直接简单的加减就可以使结果法向量平行于坐标轴呢？

这就依赖于第一步对方程两边同时乘上的系数了。

不难发现，

通过乘上系数(Gauss Elimination的T2)使得两个直线法向量的x或者y方向的分量相等或者相反，再利用高斯消元法的第三条(Gauss Elimination的T3)，我们就能轻易地得到一个平行于坐标轴的法向量，这就是消元过程中发生的事。

利用未知量的系数与直线法向量坐标的关系，消元过程就可以用图像来一步步表示了。

值得注意的是，

在解方程的过程中，我们把两个基本没什么关系的法向量给撮合成了互相垂直的向量。

实际上，不仅仅是二元一次方程组，即使是在三元甚至四元，也就是对应三维四维的空间中，通过某种操作，我们仍然可以把几个随意给出的线性无关的向量最终转化为互相垂直的向量。

这种操作不仅有，

我们还给它起了名字

——“施密特正交规范化操作”（咳咳，是方法），

这个我们以后会深入学习，此处只是粗略提及，不作赘述

那么，该讨论的最后一个问题，就是我们的“理所当然”

为什么，消元过程得到的法向量所对应的直线，

恰好经过原方程组对应直线的交点？

因为一些我们熟视无睹的东西——初等变换不改变方程组的解

这似乎值得推敲，又像是一句废话，

而我们要在这里好好说上一说

高斯消元法依赖的初等变换，改变的方程的形式，却没有改变方程的解，又是怎么回事呢？

稍稍一想，就能明白：

第一种变换——改变方程顺序——自然不会影响方程的解

第二种变换对方程两边乘上的非零系数，自然可以同时消去，方程本身并无变化

第三种变换则值得品味——两个方程相加为什么没有改变原来的解呢？

看起来方程的形式发生了非常大的变化，

甚至会导致某一个未知量的消失（即消元过程）。

如图：

我们可以把得到的方程写成这样：

自然地看出来，原方程组的解一定适用于这个方程（这就是那个为什么的答案），但是这个方程还可能有其他的解，所以我们往往把它和某一个原方程联立求解。

综上所述，

利用了方程组的初等变换的高斯消元法，

其几何意义可以从直线的法向量的角度思考。

其实不仅仅是法向量，直线的方向向量也可以。

因为（a,b）为法向量的直线，

其方向向量可以写成（-b,a），

也是和未知量系数直接相关的，

不过稍显复杂，不多说。

供稿：北京理工大学 李修远 （原创）

编辑：北京理工大学  杨玲

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