 “举一隅不以三隅反，则不复也。” 《论语·述而》 举一反三，在数学上即为“推广”，在我们做题中这种举一反三的思想固然重要，但是在这过程中，我们很容易就形成了思维定势。 思维定势，也称惯性思维，它是由一定的心理活动所形成的准备状态，对以后的感知、记忆、思维、情感等心理活动和行为活动起正向的或反向的推动作用。 ▌怎样创新？ 在数学史上的创新有许许多多： 虚数的创造 非欧几何 矩阵代数 微积分 ......  (  ，但且仅当  时取等)对数均值不等式  对数均值不等式可以说是在均值不等式上的一个创新，在此基础上，不仅可以为我们解题带来便捷，而且在近几年高考导数压轴题也算一个秒杀技巧吧。 有个经典的实验；把六只蜜蜂和同样多的苍蝇装进一个玻璃瓶中，然后将瓶子平放，让瓶底朝着窗户。结果发生了什么情况？蜜蜂不停地想在瓶底上找到出口，一直到它们力竭而饿死；而苍蝇则会在不到两分钟之内，穿过另一端的瓶颈逃逸一空。由于蜜蜂基于出口就在光亮处的思维方式，想当然地设定了出口的方位，并且不停地重复着这种合乎逻辑的行动。可以说，正是由于这种思维定势，它们才没有能走出囚室。而那些苍蝇则对所谓的逻辑毫不留意，全然没有对亮光的定势，而是四下乱飞，终于走出了囚室， 我们在做题的时候，就如“蜜蜂”一样，只会根据“阳光”找“出口”，从而困在“瓶子”里，但如果我们像“苍蝇”一样，不局限于“阳光”，从多个方面寻找“出口”，才能走出困境。 接下来我们来看两到例题，体验创新的简便。 ▌射球问题 一足球场长60米，宽40米，球门长10米，在窄边正中间假设一名球员在下边线上射球，假设无其他干扰，问在何处射球最佳？ 首先我们根据实际问题数学模型，转换问题： 其实题目就是问我们动点  在何处时  最大。▌三角函数？平面几何？ 对于一名普通高中生来说，看到这道题的第一想法就是用一个函数来表示 ，便有了以下标准的解法：设   然后用均值不等式便可求出其最值： 根据其单调性可知即 时，角度最大。此时 ，即 时成立。这样的方法应该是每个高中老师所教授的方法，而且老师希望每位同学都要学会。但是从宏观角度来看，这本是一道几何题，却用代数的方法解决了，那此题是否能换一个思路，用几何的方法解决呢？ 稍微涉猎广泛一点的同学就会了解到一个定理叫米勒定理。 在点 运动过程中， 会在 的外接圆与 相切时最大其证明也很简洁，以下是此新方案所引用的定理证明：
的外接圆与 相切于点 时，在 上任取异于 的一点，因为 是圆周角， 是圆外角，所以 ，则 最大。由此可见此题还可用平面几定理进行作答： ∵ 相切 ∴ 根据切割线定理有： 由定理便可直接得到 时射门最佳。
我们再来看一道看似简单实则很难的比较大小的题 ▌谁大谁小？ 比较大小：(1) 和 (2) 和 第一道题感觉应该要构造一个函数 刚好可以把题目中的两个数的大小比较转化成 和 的大小比较，通过去计算 的导函数并令其等于 0 便可计算出 的极值点，便可算出其单调区间。
我们来看看第二道题： 和 。通过我们对第一题的理解，是否这道题也要构造函数呢？我们可以有以下思路： 方法一：构造函数 刚好可以构造出两个要比较大小的数 和 ，但是此时令 的导函数等于零并不好解，不容易算出其单调区间：这就是我们被第一道题的思维所干扰得到的定势思路，但是我们可以在有条件的情况下用计算机绘制图像：
但是是否有更好的思路呢？（不用作图软件） ▌做差也是创新？ 对于比较大小的问题我们除了构造函数法，还可以用作差法来与零进行比较。在计算器的计算下我们可知： 可见他们做差后与零比较有点难。 方法二：如果我们把这个差放大也许对放大后的差与零的比较更为容易，不妨我们把差值放大七倍： 而 又 思维拓广是学好数学的一大关键性因素，其实数学原本丰富多彩，答案也亦丰富多彩，只是需要你善于换个思维看问题。(完) |
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