在多项式的世界中，几乎都是素多项式

我们都知道算术基本定理说明了整数具有唯一素因子分解性质，而多项式和整数有许多相似之处，本次带来的是Quanta magazine的科普文章“In the Universe of Equations, Virtually All Are Prime ”，原文见

https://www./in-the-universe-of-equations-virtually-all-are-prime-20181210/，
作者：Kevin Hartnett，译者：我叫熊猫大侠。

就像数字一样，多项式并不总能分解成简单因式的乘积。研究人员现已证明，随着多项式越来越大，这种“素”多项式无处不在。

图 1: 某些多项式可以分割成更小的单元。Hannah Li https://www./为量子杂志所作

素数万众瞩目，它们是无数流行故事中的明星，更活跃在最著名的数学猜想里。然而，另一个同样基本的数学现象却并未受到太多的关注：这就是素多项式。

素多项式是指不能被任何其它多项式整除的多项式。像素数一样，它们在广阔的数学研究领域中处于核心地位。对于许多特殊问题，如果你能掌握一些有关素多项式的知识，你会发现你已经回答了你想解决的问题。

以色列特拉维夫大学的 Lior Bary-Soroker¹说：“当我们遇到问题时，我们可以将它约化到考虑素数的一些情况，多项式完全类似！”

正如素数一样，关于素多项式的最基本问题是：它们出现的频率是多少？在过去的一年里，数学家在这个问题上取得了重大的进展。在（2018 年）10 月底发表的一篇论文²中，剑桥大学的 Emmanuel Breuillard³和 PéterVarjú⁴证明了某种类型的几乎所有多项式都是素的。

这意味着，与稀疏⁵的素数相比，素多项式更丰富。这篇新论文解决了一个已有 25 年历史的猜想，它的解决具有深远的影响，从在线加密到随机数学，到处可见。

1成功之母

数学中的许多问题可以归结为关于多项式的问题。比如  和  这类多项式，它们由带有系数的变量的方幂组成。

这些多项式在许多方面表现得与普通数字一样：你可以对它们进行加、减、乘、除四则运算。和数字一样，很自然会问哪些多项式可以表示为两个较小多项式的乘积？例如：多项式  等于 。

当一个多项式不能分解成两个较小多项式的乘积时，数学家称它是不可约的。数学家想知道不可约多项式出现的频率。

试图在所有可能的（任意元、任意次、任意系数）多项式中对不可约多项式出现的频率做出描述极其困难。因此，数学家通过限制幂次数（例如，考虑任意元都不高于五次的多项式）或将系数限制在较小范围内来攻克问题的较弱版本。2017 年 10 月，Bary-Soroker 和以色列魏兹曼科学研究所的数学家 Gady Kozma⁶共同证明⁷：系数限定在一定范围内的几乎所有多项式都是不可约的。

Breuillard 和 Varjú 解决了一个稍微有点不同的问题。他们考虑任意长度的任意系数的任意次多项式（唯一的限制是系数的范围是有限的）。

Breuillard 和 Varjú 的方法让他们能够解决更简单的问题。1993 年，如今的明尼苏达大学的数学家 Andrew Odlyzko⁸和如今的麻省理工学院的 Bjorn Poonen⁹猜测：当你考虑越来越复杂的系数为 0 或 1 的多项式时，可约多项式在“素”多项式的海洋中变得极为罕见。Odlyzko-Poonen 猜想将多项式的系数限制为两个，这是解决这个重大问题的一个值得努力的方向。

Bary-Soroker 称：“如果你想研究一些东西并且你无法证明很多结论时，那么最好从简单的情况着手。”

他们的猜想也是从基础算术中得到启发。素数在前 10 个数字中很常见，随着数的增多，素数变得越来越少。要想成为素数，这个数字需要避免被任何小于它自身的正整数（除去数字 1）整除。随着数字越来越大，可以整除它的因数越来越多，大数字比小数字更难通过素性检验。

而对于多项式，会出现不同的动态。为了使多项式可约，其系数必须彼此保持正确的关系。多项式  可以分解为 ，因为这两个数字 2 和 3 加起来恰好得到第二个系数 5，乘起来恰好得到第三个系数 6。含有更多项的多项式的系数之间必须满足更复杂的限制关系。随着系数个数的增多，找到满足所有系数的因式变得不太可能。

Odlyzko 称：“对于可约多项式，你必须碰到巧合，系数之间存有一些特殊的关系。而对高次多项式来讲，需要满足更多的关系。”

2随机游走

Breuillard 和 Varjú  最初并没有打算研究多项式的不可约性，而是对随机游走的数学感兴趣。在随机游走中，想象自己站在表盘上，数字 1 到 11 均匀标出。你从标 1 的位置上开始，抛掷一枚硬币：出现反面，你将所在位置的数字和你提前选好的另一个数字乘起来，然后前进到表盘上数字对应的位置。（在这样的表或“模”算术系统中，如果结果大于11，你只需要沿着表盘顺时针继续向前，直到你前进该走的空格数。）如果抛掷硬币出现正面，你将所在位置的数字和你提前选好的另一个数字乘起来之后再加一，然后再前进到相应的位置。

图 2: Lucy Reading-Ikkanda 量子杂志

给定这些条件，Breuillard 和 Varjú 想要了解两件事：你需要多长时间才能到达圆周上的每一点？你需要多长时间才能让到达每个点的次数大致相同？

这些问题被数学家称为“混合问题”，并且它们与多项式的不可约性有关。Breuillard 和 Varjú 认识到随机游走的路径可以用系数为 0 或 1 的多项式来描述。随机游走的“混合时间”与大多数描述随机游走的多项式是否不可约密切相关。

Varjú 说：“我们发现，如果知道哪些多项式是不可约的，那么我们就可以对想要搞清楚的问题提出一些见解”。

为了检测不可约性，Breuillard 和 Varjú 采用了一个在 20 世纪 80 年代发展的技巧，这个技巧将不可约性与数论联系起来。他们想知道给定的多项式在给定的模算术系统中有多少解。以前的工作表明多项式的解的个数反映了因式的个数。因此，如果多项式在模算术系统中平均有三个解，那么它有三个因式。如果只有一个解，那么它就只有一个因式。如果多项式只有一个因式，就意味着它是不可约的。

将这种方法应用于基于素数的模算术系统，Breuillard 和 Varjú 证明了当你考虑越来越大（系数为 0 或 1）的多项式时，不可约多项式的占比越来越接近 100％。

他们的证明有一处需要警觉的地方。该证明基于另一个猜想成立：黎曼假设¹⁰。这是数学中最重要的也是最令人怯步的未解之谜。但是，黎曼假设被广泛接受，这支撑着 Breuillard 和 Varjú 的工作。

他们的结果具有广泛的影响。在实践层面上，对在线加密来说并不会产生意外消息，因为可约多项式可能会破坏常用的数字加密方案。也许更重要的是，它是朝着理解这些多项式的本质迈出的一大步，这些多项式在生活和数学中比比皆是，但很难从总体上来描述。

Odlyzko 说：“以前对这些不可约多项式所占的比例的估计要弱得多，现在这些人说几乎所有的多项式都是不可约的！”

译者注

• i 原文“equation”和“polynomial”混用。为便于理解，结合原意，原文的“equation”、“prime equation”分别译为“多项式”与“素多项式”，后者指代不可约多项式。

• ii Lior Bary-Soroker 和 Gady Kozma 的这篇 2017 年 10 月的论文题为“Irreducible polynomials of bounded height”，见https:///pdf/1710.05165.pdf。2018 年 5 月，两位作者在 arXiv 提交了对这篇论文的补充，见https:///pdf/1805.09079.pdf。

• iii 系数为 1 或-1 的多项式的根和分形有很有趣而美妙的联系，可参考 John Baez 的文章“The Beauty of Roots”，见https://johncarlosbaez./2011/12/11/the-beauty-of-roots/或http://math./home/baez/roots/。