为“思”而学——全景式数学教育视野下如何学“长、正方形的周长”

为“思”而学

—全景式数学教育视野下如何学“长、正方形的周长”

本文发表在《小学教学研究》

2019第1期专题研究·全景教育栏目

全景式数学教育倡导：始终关注并充分发掘每一项数学内容、每一次数学教学活动在培养数学思考方面的重要价值，让学生用数学学会思考，更多的为学生的思维发展而教，更多地为学生“成为有思想的人”而教，更大程度上把“数学知识的教学”转变为“数学智慧的教育”。

下面以长方形和正方形的周长为例，说明全景式数学教育，如何用一节看似简单、貌似没有多大思维含量的课，来发展孩子数学思维、培养孩子数学智慧的。

一、一样的学习内容

北京版小学数学教科书，三年级上册，第70、71页，例2、例3。

二、不一样的学习目标

1.知识技能：理解、掌握长方形和正方形的周长计算公式，会计算长、正方形的周长。

2.问题解决：能正确判断和抽象哪些生活问题是求哪样的图形的周长问题，能解决生活中相应的、简单的实际问题。

3.数学思考（上位与核心）：

①在思考周长问题时，能根据周长的意义，进行相应的空间想象，自觉向物体或图形一周的边线定向。明确求周长的时候，应该把思考的着力点放在分析边线的特征上。

②能自觉地根据特征进行分类思考，决定采用一般的方法，还是与特征匹配的特殊方法。感悟到一般问题用一般方法去解决，特殊问题用特殊方法去解决；感悟到一般性方法是通用的方法，特殊的方法只能解决具有同样特征的专项问题。特殊问题用特殊方法解决会更简便。

③感悟用特殊方法解决问题的核心是发现事物和图形的特殊之处；从不同的角度来思考，可以发现不同的特殊性，继而发现不同的特殊方法。

④通过汇总、比较、分类、类推等策略，对同类问题进行整体性分析和思考，初步学会系统、结构性地思考和解决问题。

4.情感态度：在发现与周长问题相关的一般和特殊规律的过程中感受数学的简洁、概括、神奇之美，在丰富多彩的学习过程中感受数学学习的有趣和快乐，在处理和解决问题中感受研究数学的价值。

三、不一样的推进逻辑

这部分内容，国内所有版本的教材编排的思路都是先学长方形的周长，后学正方形的周长，无一例外。我却把它们颠倒了过来，先学例3正方形的面积，再学例2长方形的面积。

我之这样颠倒，正式是因为我看到了它培养孩子思考力的特殊价值。

我把这节课的推进逻辑（思考逻辑）确定为——先两头后中间！也就是先研究“一种极端情况”→在研究“相反的另一种极端状况”→最后研究“中间状况”。

四、不一样的课程设计和教学过程

推进逻辑确定后，我以四点数学思考目标为核心进行了课程和教学的重建，具体的学习过程大致分为个六个环节进行。

环节一：我引导学生把生活问题抽象成数学问题：

出示学生生活中的实际问题和情境，引导学生通过自己的思考、辨析和讨论，明确：求篱笆、封条、边框、围池塘走一周的长度等生活问题，就是求相应图形边线的总长，即“周长”。

环节二：依次出现下面图形，让学生列算式求周长。

前四个图形，学生都是用连加法，当正方形出现后，学生自然出现两种算法，而且认为用乘法更简便。

我接着追问，引发学生进一步思考：乘法简便，前面的为什么不用，只有它用？

学生说：因为它特殊，四条边都一样

我点拨：它特殊，用特殊的方法（乘法）去解决，这些一般的呢？

学生：用一般的方法去解决。

<图3> 我2015年12月执教这节课时的现场板书实况

此时，学生的智慧火花已经开始闪现。

环节三：跳出正方形

1.我先抛出这两个图形：

问：它们能用特殊办法解决吗？

学生：能，因为它们也是特殊的，四条边都一样？

这个两个图形，让孩子们突破了直角和直边的限制

2.再推广到正多边形：

通过让学生解释省略号的意思，启发学生概括出：正几边形，就用边长×几。

3.再引入五角星突破凸平面图形的限制：

4.最后，集中起来，整体比较，系统分析：

学生就会发现：求图形的周长，不管曲直、凹凸，只要所有的边长相同，就直接乘法计算：边长×边数。这是一种整体的、系统化、结构性的思考训练。

老师们：回忆上面的过程，我仅仅是在教正方形的周长吗？

绝对不是！

正方形只是“思考特殊图形周长的一个跳板；发现“特殊问题特殊解决”的砖敲门砖”。

环节四：从长方形周长学起

在学生研究完“最特殊”的正方形的基础上，进入第4个学习模块——研究长方形的周长：

我问：你觉得它特殊吗？

有的学生说：有一点特殊，特殊的地方是两个长一样，两个宽一样→所以用：长×2+宽×2。

有的学生说：可以看成最特殊的：这半圈的长和宽联合起来，和那半圈是一样的。→所以，可以先求出半圈，再乘以2。

这种算法很难理解的，它是本节课的难点。这时，我把数学戏剧拉了进来。

这是一组孩子在排练长和宽的过家家：他们把红色的长比喻成男的，黄色的宽比喻成女的，然后一个长和一个宽结婚成一家人，这样就可以组成两个家庭，这两家的总长完全相同，所以用长加宽的和乘以二。形象、生动、有趣，好理解，有些孩子一辈子都不会忘。

接着再引入下面四种图形让学生求它们的周长：

从直线到曲线，从直角到任意角，从四边到多边，让学生学会类推。学生的思维一下子又打开了。

最后一个图形，还引发了一段很逗趣的一段话：有的学生说像正方形一样过家家，右边的a、b、c三个人（边）是一家，左边的三个也是一家，两家的总长度是一样的，所以先用a+b+c，然后再乘2。有的学生立马反对，三个人怎么能结婚呢？有的学生马上回击：这不是玩游戏吗？让人忍俊不禁。

老师们，发现没？长方形也只是解决这类问题的一块敲门砖！

环节五：补上中间，全景分析

1.补上中间：

任何事物都不是非黑即白，还有中间的灰色地带。

在学生研究好上述图形周长后，还又全景地完善图形类型和思考区域——补上图形的中间地带：
  我首先引导学生认识到所有边“都不一样”和“都一样”是两个相反的极端，那么，下面四个图形，学生自然就把它们放在中间地带。

 

2.全景分析

最后，把本节课研究过的图形，汇总成下图：

让学生看着汇总的全部图形，回顾本节课的研究经历，随便聊聊自己的看法、自己的想法。孩子们谈到的想法有：

1.左边都不一样长，只能用一般方法，也就是加法解决。右边都一样长，是特殊的情况，用特殊方法，也就是乘法解决。中间用可以也可以用乘加解决。

2.加法可以算所有图形的周长，乘法只能算特殊的、边都一样的图形。

3.特殊的图形用特殊方法更简便。

4.求周长要注意看它的边是不是都一样长。

5.有的中间图形，把边联合起来看，可以变成都一样的图形（此时，我点破：这样就把中间的图形，变成了最特殊的都一样的图形，这就叫转化。）。

6.我们先学了极端的，后学习了中间的，等等。

环节六：超越数学

我说：孩子们，不仅仅是数学上的问题，生活当中遇任何问题，你都要先分析是什么情况。一般的情况一般对待，用一般的方法解决，特殊的情况应特殊对待，用特殊的方法解决。

比如，按照我们班级的约定，迟到，是该批评的。如果这个一个学生在上学的路上，因为帮助路人，迟到了几分钟，说你觉得该批评吗？

学生都觉得不应该批评，应该表扬。教师点拨：这就叫特殊情况特殊对待——这是在毓养更一般的、通用的思考方式和处事态度。

行文至此，我请老师先停下来，回忆一下我重建的课程内容和孩子们经历的学习过程，衡量一下我是不是基本上达成了预先的设想数学思考目标和情感目标。我相信我的孩子学习到的这些东西是“智慧”！对学生的成长和发展而言，它远比学会求长方形和正方形的周长的意义更大，影响更为深远……