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从“无”到“有” －－－－－“三线八角”之构造 预备动作一： 同学们，如图1给你两条平行线，你会想到什么？ 你也许你会想到“三线八角”，也许你会想到平行公理的推论，也许是平行线间的距离处处相等…，那么如果现在就“三线八角”，这里没有，你会怎么办呢？怎样变“无”为“有”呢？哈哈，聪明的你也一定会想到，既然“三线”，那就添“一线”呗！那又有哪些常规添法呢？你会说，要么构同位角，要么内错角，还有就是同旁内角咯！会有如下几种常见构图. 为了解题的需要，我们在原图中所添画的线，称之为“辅助线”. 辅助线：当从已知条件无法直接得到我们所需要的结论时，我们可以在原图上添加新的线，为几何图形性质的运用创造条件，像这样添加的线我们称之为“辅助线”.它往往起着沟通已知和未知，化分散为集中，转化等作用. 预备动作二： 如图2，已知一个角，你又将如何构造平行线下的“三线八角”呢？ 已知一个角，就已知了“两线”，再添“一线”. 若线AB为截线时，则过点A作BC的平行线，如图3 若BC为截线时，则过点C作AB的平行线，如图4 热身运动： 1.如图5，已知AB∥CD，探究∠B, ∠D, ∠E之间的数量关系. 从已知条件AB∥CD，你会联想到什么？现在有吗？那你想怎么办？添截线，构“三线八角”.如图6，直接连接BD构同旁内角，则有 ∠ABD＋∠CDB＝180°，∠EBD＋∠BDE＋∠E＝180°， 所以∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°. 找截线，就是构造一线，和两平行线都相交，在图中我们发现BE和两平行线中的AB相交，没有和CD相交，那能否也让他们如愿相交呢？这就只要延长BE，CD即可，如图7.同样，DE目前只与CD相交，故可延长AB和DE，如图8.下面的解答同学们可自行完成哦. 若视∠ABE为已知角，那又该如何入手呢？根据预备动作二，已知两线AB、BE，若把BE作为截线，则过点E作AB的平行线，如图9.则可得∠B＋∠BEA＝180°，因为AB∥CD，所以EF∥CD,所以∠D＋∠DEF＝180°，所以∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 若把AB作为截线，则过点A作BE的平行线，如图10,以后根据五边形内角和也很容易求解. 若从∠BED出发，已知两线线BE,DE,可过点B作DE的平行线（图11），过点D作BE的平行线（图12），根据四边形内角和都可以求解. 当然，除以上，还有其他的辅助线添法. 2.如图13，已知AB∥CD，探究∠B, ∠D, ∠E之间的数量关系. 类比上述辅助线的添法，可构图如下：
图5，图13，这两个基本图形，我们不妨称之为“平行折线”或“平行拐角”模型.其基本结论是：外拐时∠B＋∠E＋∠D＝360°， 内拐时∠B＋∠D＝∠E.
在这里，相比而言，过拐点E作AB（或CD）的平行线是较简单的.之所以从不同角度添加辅助线构图，目的在于，但我们遇到问题时，在需要构“三线八角”时，要有方向可循，知道可以从哪些角度出发，解决问题，化“无”为“有”.虽条条道路通罗马，但只有自己尝试过，经历了，才懂得优胜劣汰，各取所需，发散思维，并不断总结，优化策略，终得捷径. 实践操作： 例：如图14，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD
几个思考： ① 你是怎么做的？你是怎么想到这样做得？ ② 由已知条件，根据所学知识，猜测可有哪些结论？现在有吗？为什么没有？ ③ 你能创造条件（时代添加辅助线）变“无”为“有”吗？ ④ 你所添加的条件能把其余已知条件联系起来吗？ 两点想法： ① 有平行线通常有三线八角，现已知条件AB∥DE，缺第三条截线（即与AB、DE都相交的直线），或第三条平行线 ② 这里有三个角，能否从其中一个角出发适当添加辅助线构出三线八角（即作角一边的平行线，构第二个角） 解析（1）这里AB∥DE，发现BC只与AB相交，若DE也与BC相交，就会出现“三线八角”了，故考虑延长ED交BC于点F,如图15；同理，CD只与DE相交，故可考虑延长CD,AB交于点F(图16)，这样就可把两条平行线联系起来了.解答同学们可自行完成.
解析（2）根据上面的预备动作一，已知两平行线，可直接构第三条截线，连接BD(图17)或连接AE（图18）等.
在三角形BCD中，欲求∠C，只需求出另两角和.现在的问题是上面呢？你一定在疑惑，现在什么角都不知道啊？！不急，不知道可以设啊，用一个字母表示一个角，再通过关系用它表示出另外的角，即把未知视为已知！ 解：设∠CBD＝x，则∠ABD＝（80＋x）° ∵AB∥DE ∴∠BDE＝∠ABD＝（80＋x）°（两直线平行，内错角相等） 又∵∠CDE＝140° ∴∠BDC＝360°－140°－（80＋x）°＝（140－x）° ∴∠C＝180°－x－（140－x）°＝40° 在这里，你是否会惊奇地发现，x它自动消失了，不需你求.其实在比较多的时候我们往往会“设而不求”，它知道你其实不想要它，所以它也会知趣地“自动消失”！这在我们上学期也已有所体会，今后也将会经常遇到.不知道，干嘛？大胆设！ 对于如图18，自己试着做做看，相信你一定可以的！ 解析（3）根据准备动作二，从一个角出发，构“三线八角”.
现从已知∠ABC出发,若把BC作为截线，则过点C作AB的平行线CF（如图19），可得∠BCF＝∠B＝80°，由AB∥DE，可得DE∥CF，所以∠DCF＝40°，从而可求得∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝40°. 如图20，同学们可自行分析完成. 解析（4）若从待求的∠C出发呢？
两线BC、CD,若把CD作为截线，则过点D作BC的平行线DF,交AB的延长线于点F（图21），若把BC作为截线，可过点B作CD的平行线交ED的延长线于点F（图22），以后熟悉了四边形内角和都可以解决，感兴趣的同学可以求解一下. 还有其他的一些辅助线作法，这里就不再一一列举. 本题的目的，不在于一题多解，在于让大家从中体会一下遇到陌生题时，我们该如何思考，通过怎样的途径把未知向已知转化.由已知条件去思考我能做什么？联系曾经做过的题，能否找到相似的地方，区别在哪里？能否向其转化？其实这里所有的方法，其目的都是想办法构造“三线八角”模型，而其基本作法是通过一个角（已知的或待求的）两条边，把一边作为截线，过一点作另一边的平行线或利用平行公理的推论构第三条平行线.这样就可多解归一了.待我们熟练了，悟透了，就可以多题一解了！期待同学们把这种“平行拐角”型题目识破表象，寻找题根，用好模型，把题整理起来，看看能否做到多题一解！ 如果我们把图15、图16和图19结合起来的话，如图23、图24，你还有什么新的发现吗？
聪明的你也许发现了，这里出现了角平分线，还出现了有两角相等的三角形，即我们以后要研究的等腰三角形，今后我们还会经常看到类似的题目： 平行＋角平分线 所以，我们平时做题的时候，自己可以做完后再深入探究一下，还会有什么新的生成呢？也许你将会有意外收获哦！ 方法迁移： 同学们，对于三角形，你们都知道其内角和是180°，那现在你能对它给出证明吗？ 如图，已知三角形ABC，证明∠A＋∠B＋∠C＝180°
你思考到了下列几个问题吗？ ① 你联想到了什么？ ② 你所熟悉的什么情况下会有180° ③ 你能把它在这个图上构造出来吗？ ④ 怎样把这分散的三个角转移到一起呢？通过什么可以实现等量转换？ 把你的想法和你的同伴或老师交流一下吧！ 上面我们介绍了已知两平行线，和已知一角构造“三线八角”的常见构图，现我们再通过一个题加以体会、巩固. 题目:如图，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC，求证AB∥GF.
解析一:看到这个图，你是否有种似曾相识的感觉呢？“平行拐角”模型！所以你是否马上想到了其常用的辅助线：过拐点作两平行线其中一条的平行线，如图1:过点C作MN平行于AB.则有∠MCB=∠ABC,又因为∠1+∠2=∠ABC，所以得到∠3+∠2=∠1+∠2，也即∠1=∠3.再往下暂时走不下去了.那么再回到题目，问题求证AB∥GF，联想到平行公理的推轮，只要再证到MN∥FG即可.要证两直线平行这就要构“三线八角”了！找一条截线与MN,FG都相交，那么它在哪里呢？且它又能把已知或已证的联系起来呢？我们发现图中目前CD、BC与MN相截，，没和EF相截；EF和FG相截，没和MM相截，那么比较下来，你有什么想法了吗？没有相截，那就“成全”他们呗！
证明： 过点C作直线MN平行于AB，延长CD、GF交于点H ∴∠MCB=∠ABC（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1+∠2=∠ABC（已知），∠MCB=∠3+∠2 ∴∠3+∠2=∠1+∠2（等量代换） ∴∠1=∠3（等式性质） 又∵CD∥EF（已知） ∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等） ∴∠3=∠4（等量代换） ∴MN∥FG（内错角相等，两直线平行） 又MN∥AB ∴AB∥GF（平行于同一直线的两直线互相平行） 方法2：能否让EF也和MN相截呢？如图3，同学们，能完成它的证明吗？相信你可以的，此处就略了哦！
解析二：同学们，当你看到∠1＋∠2＝∠ABC这个条件，再看看图，发现∠1、∠2遥遥相望，隔得有点远，且没有“天桥”可连，你是否有种想通过“乾坤大挪移”把它们凑合在一起的冲动呢？那就不妨试试看！
方法3：如图4，作射线CM，使∠MCD＝∠1，这就有∠MCB＝∠3＋∠2＝∠1＋∠2＝∠ABC,得到线MC∥AB,下面也只要证明MN∥FG就行了，证明略. 解析三：可能有同学问了，既然可以把两个小角拼凑在一起，那能否把这个大角（∠ABC）拆分呢？既然有想法，那何不一试呢？那怎么拆分呢？那显然让所分的一角等于两个小角（∠1、∠2）中的一个.
方法4：平行线下角相等，故考虑过点B作BH平行于CD，如图5.则∠ABC被分成∠3、∠4两个角.由BH∥CD，得∠3＝∠2，因为∠1＋∠2＝∠ABC＝∠3＋∠4， 所以有∠1＝∠4.下面要思考的问题是，一、能否找到一个中间量都与∠1，∠4相关，二、能否找到AB,CD的截线，构造三线八角，且能和前面所得出的结论相连？三、如何把已知条CD∥EF用起来？考虑到EF和CD平行，也就和BH平行，再则，EF已和FG相截，故延长FE与AB相交，如图6.于是得到∠5＝∠4，而已证到∠1＝∠4，所以∠1＝∠5，从而AB∥GF, 证明略. 这里采取的策略为：“拆大角合小角”，今后我们还会遇到对于线段和差的证明有“截长补短”之法！ 方法5：那能否从BH已和AB相交，只要再和FG相交就可构造“三线八角”这个方向考虑呢？显然是可以的，如图7，同学们可自行分析完成.
解析四：爱思考的同学，你一定又发现原图中CB与要证的AB∥GF中的一线AB相截，那只要它也和FG相截，不就有“三线八角”了吗？那就赶快动起来吧！
方法6：如图8，延长CB交FG于点M,那么若证能到∠ABC＝∠GMB,问题就解决了.也就是证明∠GMB＝∠1＋∠2，那就把它们都“请”过来呗！如图9，过点M作MN∥CD,则MN∥EF，那下面一切都ok啦！证明略. 方法7：如果有同学熟悉三角形外角和定理及推论的话，也可以通过延长FE交BM于点N，如图10，构造三角形外角，从而易知∠GMB＝∠1＋∠3＝∠1＋∠2＝∠ABC，问题得证.
这里通过这个题，通过其中几种解法，想让同学们再次体会一下辅助线是怎么来的，它不是凭空而降的，不是瞎猫碰死老鼠，撞到的.想，要有背景,想，要去行动，只有不断地，慢慢地去实践，并不断地反思、总结，才会有所提高，才有所谓的“才思敏捷”！ |
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