相交线与平行线的几何模型

相交线与平行线

数学之旅 快乐启航

思维导图

学习目标

1．通过对相交线和平行线知识的疏理,进一步加深对各个概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形。
2．认识平面内两条直线的位置关系,理解平行线,能通过相关的角来判断直线平行，通过平行线的性质，求角,理解平移的性质,能利用平移设计图案。认识尺规作图的定义。

3. 总结归纳相交线与平行线常见的几何模型。

相关概念

两条直线的位置关系

对顶角、邻补角

    两直线相交所成的四个角中，一对相等，一对互补，它们的概念及性质如下表：

概念	图例	顶点	边的关系	大小关系
对顶角		有公共顶点	∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线	对顶角相等∠1=∠2
邻补角		有公共顶点	∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线	邻补角互补∠3+∠4=180°

归纳总结：
　⑴对顶角是成对出现的，对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线；
　⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
   ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线；
　⑷两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

垂线

1、垂线的定义：
　　如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O。

　　注意：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直。
2、垂线的画法：
　　过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。

     具体画法：
　　　①一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上;
　　　②二移：移动三角尺，使一点落在另一条直角边上;
　　　③三画：沿着这条直角边画直线。

 注意：
　　⑴画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
　　⑵过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

3、垂线的性质：
　　性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
　　性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简述：垂线段最短。
注意：
　　平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这就是垂线的“存在性”和“唯一性”，性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。

4、点到直线的距离：
　直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
注意：
　　（1）结合图形进行记忆。
　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　
　　如图，CD⊥AB，点C到直线AB的距离是线段CD的长。线段CD是垂线段。线段CD是点C到直线AB所有线段中最短的一条。
　　（2）垂线是直线，垂线段特指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，且带单位。
总结归纳：

    初中阶级学习了三种距离：两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离。这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离。

　　（1）垂线与垂线段的区别与联系:
　　区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
　   联系：垂直的性质是一致的，具有垂直于已知直线的共同特征。
　　（2）两点间距离与点到直线的距离:
　　区别：两点间的距离是点与点之间；点到直线的距离是点与直线之间。
　  联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间的距离。
　　（3）线段与距离:
　　距离是线段的长度，是一个数量；

     线段是几何图形，它们之间不能等同。

探索直线平行的条件

同位角、内错角、同旁内角

   两条直线被第三条直线所截会形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

　　如图，直线a,b被直线c所截：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）同位角　　

     两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如图，∠1与∠5，∠3与∠7，∠2与∠6，∠4与∠8，在截线的同侧，同在被截直线的上方，就是同位角（位置相同）.

（2）内错角　

    两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．如图，∠3和∠6，∠4与∠5在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），就是内错角（位置在内且交错）.

（3）同旁内角　　

    两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．如图，∠3与∠5，∠4和∠6在截线的同侧，在被截直线之间（内），就是同旁内角。

注意：　

    三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．

    三线八角也可以从模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
归纳总结：
　　(1)同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的。
　　(2)这三类角必须是由两条直线被第三条直线所截形成的。
　　(3)同位角特征：截线同旁,被截两线的同方向。
　　　 内错角特征：截线两旁,被截两线之间。
　　　 同旁内角特征：截线同旁,被截两线之间。

平行线的判定

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简述：同位角相等，两直线平行。几何符号语言描述：
　　　　 如图，∵　∠3＝∠2（或者∠1=∠5）
　　　　 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
　　（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简述：内错角相等，两直线平行。几何符号语言描述：
　　　　 如图，∵　∠3＝∠4
　　　　 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
　　（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简述：同旁内角互补，两直线平行。几何符号语言描述：
　　　　如图， ∵　∠3＋∠5＝180°
　　　　 ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

平行公理及其推论

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有三种：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行；

（2）平行线的传递性：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行；

（3）垂直于同一条直线：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

注意：

     书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等或互补，得出平行。平行线的判定是先写角角的关系，再写平行。

平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
几何符号语言描述：

如图，∵AB∥CD
　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
　　∵AB∥CD
　　∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
　　∵AB∥CD
　　∴∠3＋∠5＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

归纳总结

 两直线平行 ⇔ 同位角相等

 两直线平行 ⇔ 内错角相等

 两直线平行 ⇔ 同旁内角互补

（1）由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；

      由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。
（2）平行线的判定是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是“形”到“数”的判断.

      平行线的判定和性质是几何证明学习的初步定理和性质，图形之间的位置关系与数量关系的转换，由位置关系确定数量关系，由数量关系确定位置关系。

平行线的模型

猪蹄模型（M型）

     我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象地称为美味的“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

辅助线的做法：过折点作已知平行线的平行线

结论：∠B＋∠D=∠1+∠2=∠E

铅笔模型

铅笔模型可以看作是猪蹄模型中折点向外拉出来得到的。  

辅助线的做法：过铅笔尖的点作平行线

结论：∠B+∠D+∠P=180°+180°=360°

拐角模型

1.内拐角

 结论：∠1+∠3=∠2

这里用到了三角形的内角和等于180°

2.外拐角

 结论：∠1=∠2+∠3

归纳总结：

拐角模型角的关系就是大角等于小角的和

锯齿模型

      

辅助线的做法：过锯齿的点作平行线

结论：∠AEF+∠G=∠F+∠C

结论：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D；

∠E₁+∠E₂+…+∠E_a=∠B+∠F₁+∠F₂+…+∠F_a-1+∠D．

归纳总结：

锯齿模型角的关系就是：左边角的和=右边角的和

其他模型

拆分成其他基本模型来做，重点是添加辅助线。

总结归纳

图形千变万化，但方法却都差不多，都可以利用平行线的判定和性质求解。

如果能找到对应的同位角、内错角或同旁内角，可直接求解或证明；

如果没有明显的基本角，就需要添加辅助线。添加辅助线的基本原则就是构造平行线，来构造出同位角、内错角或同旁内角。

济南市常考题型

判定平行

例1：

填写证明依据

例2：

判断直线位置关系，求角度

例3：

研究与探索位置关系和数量关系

例4：

例5：

例6：

此类题考查平行线的判定与性质、平角的定义等知识，作出辅助线，灵活运用判定和性质进行推理。

熟悉平行线的几何模型，利用平行线的性质探究出角之间的数量关系。

方程思想的运用，求角度

     此类题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类讨论思想和方程思想进行求解，牢记平行线的性质得到角之间的数量关系。

归纳总结：

     方程思想的运用其实就是几何与代数相结合，也就是数形结合，这是我们解决几何问题中的一种重要方法。在相交线与平行线这一章节当中，主要是用来求解角度问题。方程的运用主要运用到了对顶角、余角、补角等概念及多个角的和为90°或180°来作为方程的等量关系。

      相交线与平行线是初中数学平面几何最简单的表现形式，是同学们学习几何的开始，是几何证明的初步知识，也是高中立体几何的基础，这部分知识以及所用到的基本思想和方法是后续学习三角形、四边形、相似形、图形与坐标以及圆等章节的重要基础。这部分内容的重要性由此可见，因此一定要在七年级数学知识相对简单的时候，熟练掌握这部分内容，规范几何符号语言描述，加强推理能力，培养言之有据的思维习惯，感受推理论证的作用。

     学习这部分知识要循序渐进，进行各种技能的训练，包括

①逻辑推理能力的训练

②画图（做辅助线）能力的训练

③几何语言符号表示推理过程的规范性训练

④文字语言，符号语言，图形语言相互转化的训练