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要自学微积分，首先要把微积分的基本原理和基本思想搞清楚，这里的基本思想就是指的极限思想，极限是学习微积分的第1个难关，要充分理解极限的定义，要学会用严格的定量方法定义极限。 极限的定量描述是一个动态的过程，用无穷个有限的过程来描述极限这个无限的过程。总之极限是微积分最重要的思想和工具，要想学好微积分就一定要彻底把极限理解清楚，微分和积分是两个特殊形式的极限，所以极限在微积分中的地位是不言而喻的。 极限又建立在实数完备性的基础之上。要定义极限，就需要一个完备的实数系或者说实数的连续性对建立极限是必不可少的。有理数域对极限运算就不封闭，比如有理数列的极限可能是无理数。因此整个微积分的大厦就建立在实数系的完备性这个公理之上，所以要充分理解实数的完备性。实数的连续性是用等价的7个命题来描述的。这7个彼此等价的命题，从各个角度描述了实数的连续性这一事实。Your能够从这7个命题中的任何一个出发，推出其余的6个命题，这样才算真正把实数的连续性彻底搞清楚。微积分中很多定理的证明技巧都来源于这7个定理和它们的等价性证明。可以说实数完备性定理渗透到微积分的每个角落。比如在连续函数的最值定理，介值定理有界定理的证明中都要用到这些实数连续性等价命题。把这7个实数连续性等价命题搞明白就可以说你的极限彻底搞明白了。 彻底弄懂极限之后，就可以说微积分的第1个难关已经过去。接下来就是学习两个特殊的极限，一个微分一个积分，微分是0:0型的极限，积分是0乘以无穷型的极限，充分理解微分和积分的定义，明白它们的动机和现实的意义，比如物理意义，并且能够熟练的计算微分和积分。相对极限部分这一块内容应该简单许多。 微积分之所以称为微积分，而不是微分和积分，就在于有联系二者的重要公式牛顿莱布尼茨公式，这是微积分最核心的部分，它揭示了微分和积分这两种运算互为逆运算的本质。也提供了计算定积分的强有力的方法，所以这一部分内容是微积分核心。 有了牛顿莱布尼茨公式，一元微积分基本上就学完了，接下来就是一些微分和积分的应用，要会一些简单的微分方程的解法，并能够用微分方程描述现实世界中的问题。这次一元微积分的内容大致已经学完，把一元微积分向更高维的情形推广就是多元微积分。关于多元微积分可以类比一元微积分进行学习。在学习多元微积分的过程中，一定要分清楚哪些性质是一元和多元二者共有的，哪些性质是多元所独有的。关于微积分的学习，主要还是要靠自己读书，还有可以在网上找一些资料，多做一些题目。我就提供这么多建议吧。 |
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