微积分之九阳真经

看过金庸《倚天屠龙记》的童鞋应该都清楚地记得，张无忌修炼乾坤大挪移到了第7层，而魔教教主杨逍只修炼到第2层.

 

为何会如此？原因其实很简单，只因张无忌有深厚的武学内功九阳真经作为基础.

 

那么在学习微积分的过程中，是什么决定了你修炼的高度，抑或说微积分之九阳真经是什么？今天就和大家一起来探讨一下.

数列有界，但因其心有旁骛，在两数之间犹豫不决、来回跳动，导致其必然发散.

 

我们知道，收敛数列必有界，而上例则说明有界的数列不一定收敛.

 

于是很自然地，会产生如下两个问题：

1. 给有界数列加上什么额外的条件，可确保其收敛？

2. 若不加任何条件，则能得到怎样的结论？

 

下面的定理回答了第2个问题.

定理（Bolzano-Weierstrass）:有界数列必有收敛的子列.

 

接下来看第1个问题.

如果我们给有界的数列赋予单调这一重要特性，则有

定理：单调有界数列一定收敛.

 

该定理的重要性在于：

• 它使我们可以从数列本身特点出发去研究其敛散性. 在判断出其收敛后，可借助极限运算的性质求出极限.
  

• 它告诉我们实数具有连续性，这是讨论函数连续性的基础. 试想，如果实数没有铺满数轴，那么任何定义在实数上的函数都不可能连续.

• 闭区间上连续函数的性质是微积分的支柱，没有这些支柱，微积分大厦将分分钟倒塌. 而这些性质都可以通过单调有界准则获得证明.

• 同时，它还郑重地宣告：实数是完备的！这可以保证任意收敛的实数数列的极限不会跑到实数外面去.（注：连续性等价于完备性）

 

实数的完备性，说白了就是对求极限封闭. 如果没有封闭性，细思极恐！！！

比如，如果你问一个小学森 1-2 等于几，Ta一定吓得哇哇大哭，为什么呢？因为1-2的结果跑到自然数的外面去了，根本就不知道是什么鬼东西，这吓死宝宝了...

 

极限是微积分的基础，如果一个实数数列是收敛的，但是其极限却跑到实数外面去了，这就没办法继续讨论下去了.

 

比如，假设你只学过有理数，根据单调有界准则可知，下列有理数数列是收敛的，

但其极限

却因一言不合跑去和无理数鬼混去了，这日子就没法过了.

下面讨论如何利用单调有界准则证明数列收敛，并计算其极限！

• 对于无穷多项连加的极限，常常考虑利用夹逼准则求极限. 至于夹逼准则的放缩技巧可参看数学中最霸气的定理.

• 若夹逼准则搞不定，可考虑利用定积分定义、幂级数求和、级数收敛的必要条件等等方法求解.

• 而对于由递推公式给出的数列，判断其极限存在通常利用“单调有界准则”.

为了知道一个数列是否单调，一个为大家熟知的方法就是去比较数列中相继两项的大小. 这可以通过分析相继两项之比或差来达到目的.

另外值得提醒的是，并不是每一个数列都具有单调这样良好的性质，那么如何对一般的数列从其本身来判定它收敛还是发散？这就需要借助柯西审敛原理.

下面看一些典型例题.

例1

解答

例2

解答

到今天为止，关于两个重要极限的系列讲解就告一段落了.

简单回忆一下，我们主要是围绕着如下问题展开讨论的：

• 前传 | 两个重要极限是如何来的？

• 序幕 | 两个重要极限是如何推导等价无穷小的？

• 正传 | 两个重要极限是如何解决棘手极限的计算？

• 续集 | 两个重要极限为何是微分&导数的基础？

• 画外音 | 很多童鞋都想说，它们可以用来吃吗？

下面的视频回答了上述第5个问题！