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微积分之九阳真经

2016-11-25  路过UUSee



看过金庸《倚天屠龙记》的童鞋应该都清楚地记得,张无忌修炼乾坤大挪移到了第7层,而魔教教主杨逍只修炼到第2层.

 

为何会如此?原因其实很简单,只因张无忌有深厚的武学内功九阳真经作为基础.

 


那么在学习微积分的过程中,是什么决定了你修炼的高度,抑或说微积分之九阳真经是什么?今天就和大家一起来探讨一下.


数列有界,但因其心有旁骛,在两数之间犹豫不决、来回跳动,导致其必然发散.

 

我们知道,收敛数列必有界,而上例则说明有界的数列不一定收敛.

 

于是很自然地,会产生如下两个问题:

  1. 给有界数列加上什么额外的条件,可确保其收敛?

  2. 若不加任何条件,则能得到怎样的结论?

 

下面的定理回答了第2个问题.

定理(Bolzano-Weierstrass):有界数列必有收敛的子列.

 

接下来看第1个问题.


如果我们给有界的数列赋予单调这一重要特性,则有

定理:单调有界数列一定收敛.

 

该定理的重要性在于:

  • 它使我们可以从数列本身特点出发去研究其敛散性. 在判断出其收敛后,可借助极限运算的性质求出极限.

  • 它告诉我们实数具有连续性,这是讨论函数连续性的基础. 试想,如果实数没有铺满数轴,那么任何定义在实数上的函数都不可能连续.

  • 闭区间上连续函数的性质是微积分的支柱,没有这些支柱,微积分大厦将分分钟倒塌. 而这些性质都可以通过单调有界准则获得证明.

  • 同时,它还郑重地宣告:实数是完备的这可以保证任意收敛的实数数列的极限不会跑到实数外面去.(注:连续性等价于完备性)

 

实数的完备性,说白了就是对求极限封闭. 如果没有封闭性,细思极恐!!!


比如,如果你问一个小学森 1-2 等于几,Ta一定吓得哇哇大哭,为什么呢?因为1-2的结果跑到自然数的外面去了,根本就不知道是什么鬼东西,这吓死宝宝了...

 

极限是微积分的基础,如果一个实数数列是收敛的,但是其极限却跑到实数外面去了,这就没办法继续讨论下去了.

 

比如,假设你只学过有理数,根据单调有界准则可知,下列有理数数列是收敛的,

但其极限

却因一言不合跑去和无理数鬼混去了,这日子就没法过了.


下面讨论如何利用单调有界准则证明数列收敛,并计算其极限!


  • 对于无穷多项连加的极限,常常考虑利用夹逼准则求极限. 至于夹逼准则的放缩技巧可参看数学中最霸气的定理.

  • 若夹逼准则搞不定,可考虑利用定积分定义、幂级数求和、级数收敛的必要条件等等方法求解.

  • 而对于由递推公式给出的数列,判断其极限存在通常利用“单调有界准则”.


为了知道一个数列是否单调,一个为大家熟知的方法就是去比较数列中相继两项的大小. 这可以通过分析相继两项之比或差来达到目的.


另外值得提醒的是,并不是每一个数列都具有单调这样良好的性质,那么如何对一般的数列从其本身来判定它收敛还是发散?这就需要借助柯西审敛原理.


下面看一些典型例题.


例1


解答



例2


解答


到今天为止,关于两个重要极限的系列讲解就告一段落了.


简单回忆一下,我们主要是围绕着如下问题展开讨论的:

  • 前传 | 两个重要极限是如何来的?

  • 序幕 | 两个重要极限是如何推导等价无穷小的?

  • 正传 | 两个重要极限是如何解决棘手极限的计算?

  • 续集 | 两个重要极限为何是微分&导数的基础?

  • 画外音 | 很多童鞋都想说,它们可以用来吃吗?


下面的视频回答了上述第5个问题!


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