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原地址： http://moroboshidan.blog.163.com/blog/static/615248782011116214748/ 记得最初造访奥盟论坛（注：奥特曼中国联盟，bbs.ultramanclub.com）是2005年左右，但真正在论坛注册，却是2007年年初之时. 刚到论坛时，奥盟币显得非常重要.毕竟，那个时候，下资源经常是要花钱的，动辄几十甚至上百.买一个象征自己对奥特曼喜爱风格的战队徽章，更是需要1000AB（注：奧币，奥盟币）. 所以，那个时候，我很注意发展自己的存款，方法有二：一曰开源，一曰节流。 所谓开源，刚来奥盟时那几个月，我可以说一个水字啊！基本上海底区逢贴必回的，自己也经常转载一些火星得不知多火星的文章以骗积分（当然，当时比起积分，我更看重AB）. 那个时候，我虽然算不上水王，但经常性的，一天的发帖量位居前三，有时候是第一…… 现在回想起来真庆幸，我的主号居然未尝被封印过，简直是奇迹！ 当然，到了后来，我发帖的重点，逐渐转向了主讨论区，尤其是昭和系奥特曼研讨区，参与着其中讨论，后来更是自己写一些相关的话题……之后，我也因此有幸成为版主的一员. 所谓节流，就是少花钱，比方说尽量不去买售价贴.为此我曾经错过不少精华资源，不过好在后来基本上都补上了. 另外就是及时把多余的AB存入社区银行. 在那段时间里，有一样东西我很看重——那就是社区银行存款的利息. 奥盟社区存款，日利率0.5%，每24小时清算一次利息…… 记得最疯狂的时候，我几乎每天都要去清算利息，以及存款.所为的，不过是几十个AB而已…… 现在咱们的AB动辄百万、千万，从事实上来说已经贬值地不像样子了……虽然资源之类的东西物价未尝有多大改变，但这也只是因为AM版规的“宏观调控”而已…… 这里毕竟不是现实中，AB也远远不如现实中的RMB那么重要…… 现在下个资源，遇到售价贴也就花个几十最多数百，根本就是毛毛雨.但在一开始，有可能我倾家荡产也下不起一部资源.之后则是有些资源几乎要倾尽我的积蓄……再往后则是要从我账户上砍掉一大笔……再往后则是砍掉一个零头……再往后…… 直到有一天我发现我的AB再也用不完了.记得我的AB突破10万是2008年夏天的时候.在那个时候，我就知道，从今之后，AB将是个摆设…… 唉……昔日的日子，令人感叹…… 不过对于昔日的回忆到此为止了，本文的正题是数学，是数学！ 我当时就很奇怪，我哪来那么多AB的？靠发言，最多的时候每月也不过2000帖，一般每月只有几百贴，后来甚至降 为几十帖.发一帖5AB、回一帖2AB.以及做版主数个月，每月1000AB，再加上社区一些奖励，例如原创精华帖奖励100AB……其中还有一些购买资 源的支出…… 再怎么算，也不可能有10万以上.那么唯一的解释就是——银行利息. 刚开始我确实轻视了银行利息的作用.银行利息，可以说是那种没有短时间的明显效果，但时间越长越能凸显其不凡的“致富手段”. 如果是现实生活中的银行，由于利率比网络银行低太多了，想要有特别明显的效果，需要等N多年…… 而网络上的社区银行则要快得多…… 从2008年夏天之后，我就把AB纯粹作为一种好看——毕竟，你AB数排名前几，哪怕再没有用，放那总比没有好吧？ 从那之后，由于个人学业原因，我来奥盟也没以前那么频繁了.增长“财富”的主要手段，就是不时地清理利息. 通过不断地清算利息，我的“财产”缓慢地增长，并超越很多人.到了今天已经能位居前10了. 为什么？ 唯一的原因就是我清算利息比大多数人都要频繁. 旧时代，地主、放债者们剥削他人，用的就是类似的“利滚利”. 于是我开始研究这利用银行“致富”究竟有多快. 这一研究，却引出了数学上一个很有意思、内容也极为丰富的东西——自然对数之底e，与π齐名的两大超越数之一. 首先，为了研究简单起见，咱们假设不再有除了银行利息之外的其他资金增长. 很多前辈由于忙碌，逐渐淡出奥盟之后，基本上就是类似于这样.但我却关注过他们的AB，不少前辈一直都有很多AB，且不断增长. 我也逐渐类似于这样.毕竟，现在我很少往银行里存钱，而银行一天的利息，要远远高于其他方式所得的AB. 只靠银行利息！ 所以我们假设最初的本金不变. AM社区的银行利息为每天0.5%，换而言之就是一笔钱存进去，不去动它，200天之后将自动翻一番！ 那么如果你不时地去清算利息呢？200天后你的AB有多少？ 再次，为了简单起见，我们假设清算AB利息的时间间隔是均匀的，总共清算过n次. n∈N* 咱们假设自己原有的本金为a， 如果这200天只在最后清算一次利息，那么最后本息和f(n)=f(1)=2a 如果这200天清算过n次利息 200天后的本息和显然为： f(n)=a*(1+1/n)^n，n∈N* 然后，将xn=(1+1/n)^n单独提出来 这玩意是什么？ (lim(n——无穷大))((1+1/n)^n)=e （n∈N*） 这玩意是自然对数之底的定义！ 也就是说，当n趋于正无穷大时，(1+1/n)^n趋向于e （ 还有一种定义是：e=Σ(n=0——无穷大)(1/n!) 即e=1/1+1/2!+1/3!+…+1/n!+… 其中n∈N* 0!=1 n>=1时， n!=1*2*3*…*n ） 首先我们需要证明{xn}是一个单调递增数列 由牛顿二项公式展开： xn=(1+1/n)^n =1+(n/(1!))*(1/n)+(n*(n-1)/(2!))*(1/n^2)+…(n*(n-1)*(n-2)/(3!))*(1/n^3)+…+(n*(n-1)*(n-2)/(n!))*(1/n^n) =1+1+(1/(2!))*(1-1/n)+(1/(3!))*(1-1/n)*(1-2/n)+…+(1/(n!))*(1-1/n)*(1-2/n)*…*(1-(n-1)/n) 显然{xn}是一个单调增数列 {xn}是一个单调增数列意味着什么？ 意味着你利息清算次数越多，最后得到的本息和就越高！ 设yn=Σ(k=0——n)(1/k!)=1+1+1/(2!)+1/(3!)+…+1/(1*2*…*n) <1+1+1/2+1/(2^2)+…+1/(2^(n-1))<3 {yn}是一个单调递增的收敛数列，显然存在极限，这个极限是一个大于2小于3的实数. 又xn<=yn恒成立 {xn}亦为一个单调递增的收敛数列，也存在极限 可以证明，这两个数列的极限是相等的 将xn=(1+1/n)^n的定义域推广至实数集依旧成立 数学中将这个极限称为e （详细的证明、以及e的其他性质，比方说其是无理数、超越数之类的，可以参阅诸如《高等数学》，《数学分析》一类的书） e大约等于2.7182818 这意味着什么？ 这就意味着，这200天内你再怎么多次清算利息，哪怕是每秒、每毫秒、每微秒清算一次利息，200天后你的钱也不可能是原来的3倍！ 当然，事实上只允许每天清算一次利息，24小时不到强行去清算，只能使得这一天没有利息！ 如果恰好把握好时间，每次总能保证每天成功清理一次利息的话，200天后利息将会是原来的大约2.7115171倍！ 这与e的差距已然不大！ 事实上由e=Σ(n=0——无穷大)(1/n!)的定义，可以得出{yn}是一个收敛得很快的数列 所以，保证每天清理一次，得到的AB将会接近于原先的e倍 怪不得勤清算利息，资金会增长这么快！ 后来我还发现，著名科普作家雅·别莱利曼也研究过这个问题.（详见《趣味代数学》） 看来这样的问题确实算得上初等数学中著名的问题了…… 从银行存款可以牵扯到e，那么，既然谈到e，我就顺便说几道有关e的趣题. 一道题非常简单： 求证： (1+1/n)^n<e，n∈N* 这题可不需要用高等数学知识哦，直接初等数学搞定！ 先证明引论： x>0时，ln(x+1)<x 可构造函数 f(x)=x-ln(x+1) f(0)=0 f'(x)=1-1/(x+1) 显然x>0时，f'(x)>0 故x>0时，f(x)=x-ln(x+1)>0 ln(x+1)<x恒成立 代入x=1/n 有ln(1+1/n)<1/n n*ln(1+1/n)<1 ln((1+1/n)^n)<1 则(1+1/n)^n<e，n∈N* 命题得证 第二道题，是著名的蠕虫与橡皮绳的问题： 一条蠕虫在橡皮绳的一端.橡皮绳长一公里. 蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行.在1秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为2公里.再过一秒钟后，它又拉长为3公里，如此下去.（这种拉伸是均匀的，橡皮绳每一部分都同等地被拉伸）蠕虫最后究竟会不会达到终点呢？ 这题还请诸位道友们自己思考. 第三道题，也是一道关于e的题目： 已知一个正实数a，将其分成n份，要求使得分得的数连乘之积最大，该如何分？ 由基本不等式，均分时连乘之积最大 设f(n)=(a/n)^n，n∈N* 将其推广到实数集 y=f(x)=(a/x)^x=(a^x)/(x^x) ln(y)=x*ln(a/x)=x*ln(a)-x*ln(x) y'/y=ln(a)-ln(x)-1 y'=y*(ln(a)-ln(x)-1)=((a^x)/(x^x))*(ln(a)-ln(x)-1) 显然，当x=a/e时，y'=0 此时y=f(x)取最大值 故只要将其所分份数接近于a/e，每份接近于e时，连乘积取最大值 附录 数学题问答 几道与本文有关的……数学题…… 对于函数f(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点. 若函数f(x)=(x^2+a)/(bx-c)(b,c为正整数)有且仅有两个不动点0,2，且f(-2)<-0.5. (1)试求函数f(x)的单调区间； (2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn*f(1/an)=1 求证：-1/a(n+1)<ln((n+1)/n)<-1/an； (3)设bn=-1/an，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009-1<ln 2009<T2008. 求证不等式： -1<Σ(k=1——n)(k/(k^2+1)-ln(n))<=1/2，n=1,2,… |
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