拉格朗日量、哈密顿量及变分原理

牛顿力学大家非常熟悉，但是我们仔细思考会发现，牛顿的理论并没有对这个世界的本质进行建模分析，它的三定律只能算是表象级的描述，现在我们来学习一种新的模型，这种模型本质上与牛顿力学相等价，但是在形式上有所不同，并且便于推广到物理学的其他各门分支，我们称之为拉格朗日力学。

拉格朗日力学认为，一切经典力学的规律可以通过称之为最小作用量原理的一种方式导出，对每一个物理体系，我们有一个称之为作用量的物理参量，我们选取时间作为参数，则另有一个称为朗格朗日量的参量，假定我们已经知道了一个物理系统必定会随时间经历两个确定的物理状态，那么以这两个状态为起始与终末对拉格朗日量进行积分将会得到对应的作用量，而真实的物理过程对应的数学方程将会是作用量取极值时拉格朗日量中各参的关系。需要说明的是，作用量实质上是拉格朗日量的泛函，而他取极值的方式是通过变分原理。

首先我们给出变分原理的作用形式，我们用A和B来表征一个物理系统的起始与终末状态。

欧拉-拉格朗日方程就是最小作用量原理工作的形式，接下来我们直接给出一些经典体系的拉格朗日量，并且通过变分原理验证拉格朗日力学确实与牛顿力学等价。

自由质点：

由这几个例子可以知道，拉格朗日力学确实与牛顿力学等价，但是他们的作用形式非常的不同。接下来我们介绍另一个等价描述方式，称之为哈密顿力学，哈密顿力学描述物理系统的方式是通过哈密顿方程组。现在我们由拉格朗日量导出哈密顿量：

由定义可知，哈密顿量表征的物理意义是能量，最后一个由微分方程导出的方程组就是哈密顿方程组。从导出的过程来看我们已经知道了，哈密顿力学与拉格朗日力学相等价。从作用形式来看，拉格朗日力学的欧拉-拉格朗日是二阶方程组，因为其中可能含有q的二阶导数，而哈密顿力学的哈密顿方程组是一阶方程组，但是自变量变成了原来的两倍（动量p也成了变量）。哈密顿原理虽然是由经典力学发现出来的，但是它的应用范围却极大的扩展到其他的领域，后续将进行进一步的介绍。