德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算: 1+2+3+4+…+99+100=? 老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现: 1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。 1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为 (1+100)×100÷2=5050。 小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于'等差数列'的求和问题。 例11+2+3+…+1999=? 分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。 注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例211+12+13+…+31=? 分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。 原式=(11+31)×21÷2=441。 例33+7+11+…+99=? 分析与解:3,7,11,…,99是公差为4的等差数列, 项数=(99-3)÷4+1=25, 原式=(3+99)×25÷2=1275。 例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。 解:末项=25+3×(40-1)=142, 和=(25+142)×40÷2=3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成? 分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表: 由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。 解:(1)最大三角形面积为 (1+3+5+…+15)×12 =[(1+15)×8÷2]×12 =768(厘米2)。 (2)火柴棍的数目为 3+6+9+…+24 =(3+24)×8÷2=108(根)。 答:最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。 |
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