|
不请自来，我来回答这个问题。 微积分是《高等数学》主要部分，主要涉及极限、导数、微分、积分等几个重要概念及相关的知识，目前高中阶段也都有接触。要想解释这几个概念，首先必须先了解极限的概念。因为导数、定积分的概念都是建立在极限思想的基础上的。高等数学的研究对象是函数，即因变量随着自变量的变化而变化，这里会涉及到变化的趋势（极限）、变化快慢（导数）、变化程度（微分）等问题，下面的概念仅从通俗易懂的角度给出。 一、极限1、极限的定义 极限的概念可概括为“两个无限接近“，即 当自变量无限的接近某个数值时（可以是无穷），函数值无限接近某个确定的常数，那么这个确定的常数就是函数在这种趋近方式下的极限。 这里不再给出高等数学中严谨的极限的定义，严谨的数学上的定义比较抽象，有兴趣的可以翻看《高等数学》课本。 2、极限思想的理解 极限的概念也可以从下面的诗句中意会。孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。 ——可理解为当距离x无限远的时候，帆船消失不见，即极限为0. 《庄子.天下篇》——一尺之棰，日截其半，万世不竭。这句话中也蕴含着极限的思想。 刘徽的“ 割圆术 ”求圆周率的方法： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽的“ 割圆术 ”包含了用已知逼近未知 , 用近似逼近精确的重要极限思想。 二、导数导数就是”变化率“，即函数相对于自变量的变化快慢程度， 如物体的瞬时速度、曲线的切线斜率。 在自然科学和工程技术领域，导数的应用非常广泛，如电流强度、线密度、以及所有优化问题都需要利用导数来计算。 三、微分微分和导数有密切的联系，对于一元函数可导和可微是等价关系，在数学表达式上有dy=f'(x)dx，但两个概念有本质的区别，以路程和速度为例，路程的导数就是瞬时速度，单位是m/s或者km/h，但路程的微分可以理解为单位时间内走的距离，单位是m或者km。 微分是函数改变量的线性函数，因为函数该变量的精确值计算往往是较繁琐的，因此可由微分dy近似代替函数的改变量。 举个最简单的例子，微分就是切片面包中的一片，但这一片的厚度是非常非常的薄。 四、积分严格上积分分为定积分和不定积分，其中不定积分和微分互为逆运算，定积分和不定积分的关系由牛顿莱布尼兹公式给出，我们通常应用的积分是指定积分。 定积分是处理不均匀量”求和“的有力工具，比如下面曲面梯形的面积，可通过分割、近似、求和、取极限四步来求出，而且求出的是曲边梯形的精确面积。所以积分的本质就是求和，定积分的主要思想是”以直代曲“”以常代变“。凡是涉及到”不规则的“”弯曲的“、”不均匀的“量的相关计算都可以用定积分来解决。 和上面的例子对应，积分就是已知一片切片面包的体积，现在让你求整个面包的总的体积。 总之，高等数学的这些概念都是非常抽象的，在本科以上《高等数学》课本上都有严谨的数学定义，但由于高度抽象，使得很难直观的去理解，这里给出了简单的解释，希望能帮到大家。 |
|
|
来自： kanglanlan > 《数学》
