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AMC8近年几何题浅析

2019-09-22  长沙7喜

在AMC8比赛中,几何部分主要涉及角,三角形,四边形(包括正方形,长方形等),圆与扇形、勾股定理,相似三角形等内容,还要求熟悉常见平面图形的面积,周长公式和算法,包括求不规则图形面积的方法(包括拆分法、割补法等)。几何部分向来都是AMC8考核的重点难点,尤其在最近的几年比赛里,都有两道几何题在二十题以后出现。因此,能否熟练掌握相关的知识,是在比赛中取得好成绩关键。

让我们先来看看最近几年二十题以后的几何题和它们的统计数据:

年份

第一题(正确率)

第二题(正确率)

2018

Problem 22 (无)

Problem 24 (无)

2017

Problem 22 (22.14%)

Problem 25(23.67%)

2016

Problem 22 (26.00%)

Problem 25 (17.66%)

2015

Problem 21 (29.31%)

Problem 25 (14.48%)

接下来,让我们简单解析一下这些考题:

2015 AMC 8 Problem 21

1.  知道正方形面积求边长(会开方)

2.  等边三角形和正六边形各个边相等EF=BC,BJ=BK

3.  知道各个角大小(正六边形内角,等边三角形内角,正方形内角)推出BC垂直BK来算出三角形面积

4.  小技巧就是先别急着算两个直角边,可以把两个直角边的评分相乘(两个正方形面积)再开根号

2015 AMC 8 Problem 25

       

1. 关键先把内嵌的正方形的图能画出来

2. 能观察出红色部分和里面两个小的三角形面积相等。

3. 剩下就计算就比较简单

这题的难度其实不大,只要把图画出来(里面正方形顶点都在大正方形的四个边上),仔细观察一下就能出结果。得分低的原因估计因为这是最后一题,剩下时间不多,乍一看,无从下手,大家也就没有细想。

2016 AMC 8 Problem 22

  1. 用到面积切割来计算面积

  2. 大三角形(包括小白三角形)面积好算

  3. 小白三角形计算,得得用到相似三角形边的比例关系算出它得高

2016 AMC 8 Problem 25

1. 先算斜边AC(记住一些常用的直角三角形三边的关系)

2.利用半径是三角形ACD的高和相似三角形关系推出半径

2017 AMC 8 Problem 22

 

  1. 勾股定理算出斜边AB(要求学生记住常用几个直角三角形三边的关系)

  2. 算出三角形面积(用已知的两直角边)

  3. 连接半圆心和B点,用半径表示三角形面积,就可以求出半径(面积切割)

2017 AMC 8 Problem 25

     

  1. 这属于补齐面积,再切割(题中说到这是六十度的圆弧)

  2. 先算等边三角形面积(要求学生记住公式)

  3. 再算两个六十度扇形面积(相当于一百二十度/整个圆的三分之一)

  4. 当然,这题也可以直接连接SRTR,两个小等边三角形减去两个六十度弧面的面积(要求学生记住六十度和九十度弧面的面积)。

2018 AMC 8 Problem 22

  1. 首先应该清楚这题就是让我们算出ADEFABCD的面积的百分比

  2. 根据相似关系很容易知道EFCFAB的四分之一(但是仍然没有找到和正方形的关系)

  3. 这样我们很容易就会去看看AFB(或者FBC)和ABC的关系。

  4. 因为同底AB,只要知道它们的高之比就可以了

  5. F点做AB的垂线,根据前面边的比例关系,知道AFB面积是ABC的三分之二

  6. 这样关系就建立起来了,就可以推出ADEFABCD关系了

2018 AMC 8 Problem 24

 

  1. 这是AMC8第一次出现空间立体几何

  2. 我们可以看EJCIABCD的比

  3. 求这个两个对称四边形图形面积我们可以用对角线相乘再处以二(求面积比,这个可以省略)

  4. 观察图形,IJBD相等,只要知道ECAC的比例关系就可以

  5. 根据直角三角形EAC可以推出他们平方关系是三比二

从最近几年的几何考试我们可以看到,后面的几何压轴题全覆盖了我们前文提到的知识点: 角,三角形,四边形(包括正方形,长方形等),圆与扇形、勾股定理,相似三角形等内容,还要求熟悉常见平面图形的面积,周长公式和算法,包括求不规则图形面积的方法(包括拆分法、割补法等)。因此我们在准备比赛的时候,需要针对性的训练。另外,空间立体几何图形是第一次在比赛中出现,而且是倒数第二道题。如果空间想象力不够,容易有点措手不及.所以大家再准备的时候,需要熟悉这个知识点。

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