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用这几个问题判断孩子是否有数学天赋

2019-09-25  wangreg

姚远

作者

(babazhenbang),清华爸+复旦妈打造的聚焦国际化教育的原创平台

今天这篇文章,来源于之前我们请到了一位神秘嘉宾A老师的讲座。
A老师可不是一般人,他有着多年带领国家级别奥数队伍的第一手经验,平时的本职工作也是数学教育研究。对于家长们万分关心的奥数问题,他无疑是提供了一个信息量十足、富有启发性的视角。
在此,我们将讲座的精华做了整理,并分成“奥数到底该不该学”、“如何判断孩子是否适合奥数”、“奥数该怎么学”三部分,以Q&A的形式原汁原味的呈现在大家面前。
我们相信,看了这篇文章,各位家长一定能打消不少对于奥数的困惑与误解,为孩子选定一条合适的数学学习之路。
奥数到底该不该学?
普娃学奥数有用吗
Q1:现在对奥数的评论褒贬不一,那么学奥数对普通孩子真的是弊大于利吗?
A:我们先来定义一下奥数。有的人认为,所谓的“全民奥数”主要指小学阶段的奥数,它并不是真正的奥数,只是“歪门邪道”;也有人认为,奥数本身就是“歪门邪道”,和数学学习以及数学研究没啥关系。
这些说法都有些极端,其实,无论是“小学”奥数、奥数还是数学学习,之间一定是有贯穿性的。如果真要对奥数做个区分,我想可以分为“狭义”和“广义”两种说法:
狭义的奥数:指的是初等数学范围内具有较高水平和挑战性的竞赛(如全国高中数学联赛加试、各国的国家级数学奥林匹克、IMO等)及其相关活动和相关内容。
广义的奥数:培养学生思维的,拓宽他们眼界的一种数学呈现形式,在不涉及高等数学的前提下,提出有一定数学思想和深度的数学问题,供有能力、有聪明才智的学生思考。
需要说明的是,奥数不是“脑筋急转弯”,它和数学当然是有联系的。而且并不是说所有的超出课本又跟数学沾边的,都能够称为奥数。
我之前看到过一道所谓小学奥数题,问怎样画一条直线,把五边形切成两个三角形,答案居然是这样的:
▲你看懂了吗,只要“直线”够粗,切成什么形状都没有问题
你说它是数学题吗?好像是的,但其实数学的成分比较淡,更多的是非数学的趣味,这就不太符合奥数的标准。
但有一点是肯定的,奥数一定是对于学生的创造力、洞察力要求比较高的。对你的思维或数学学习是有发展性帮助的。
Q2:奥数和学校数学到底是什么样的关系?
A:这个问题还是要结合“广义奥数”和“狭义奥数”来讲。
我对高中这块了解更多,我认为高中的奥数和学校数学之间应该是“中等相关”的程度。
从广义、普及的角度说,关联度很高。
我们国家的高中联赛一试的题目,其实是比较亲民的。这些题目里面有相当一部分的题用到的就是我们平时学的知识,会多绕一点弯,对能力要求更高一些,但总体来说课内知识掌握扎实的同学,都可以完成其中较简单的问题,不会完全没方向。
其实低学段的比如希望杯、迎春杯,包括国外的AMC等都是如此,它们的目的还是在普及数学,是对学校数学的加深和灵活化
▲美国数学竞赛AMC官网
从狭义、竞赛的角度说,关联度较低。
但是,到了高中数学联赛加试这种级别的比赛,不用说课内成绩了,就算是接触数学竞赛时间较长的学生也可能完全懵住,因为它是从竞技、选拔的角度来看的。
另外,虽然两者都是初等数学,但内容上也是有较大不同的。
比如我们竞赛中经常会有离散数学,包括组合数学、初等数论等内容。这些在目前国内的中学教育中并不是重点,但又是很多热门专业,比如计算机、生物研究等必备的。
所以说,竞赛内容也可以是以后想从事理工科工作的学生非常好的补充。
▲离散数学简介
最后再补充一点,学校数学有一个“天花板效应”,比如中考150满分,你的水平本是145,而花初三一整年的时间来把你的成绩训练到148,这其实是有些浪费的。
而且,对于有些孩子来说,题目越简单,对他们其实越不公平。我们所说的教育公平有两层意思:一方面就是每个人都得到均等的发展机会,另一层是每个人得到适合他自己的发展机会。那么对于这样的学生来说,学校的数学显然是满足不到的,所以需要有一些课外的补充。
奥数适合你家娃吗?
几个问题初步判断孩子是否有天赋
Q1:都说只有5%的学生适合学奥数,那么这5%学生都有什么特质?
A:这其实涉及到一个“资优教育”的概念。
首先我们要明确,我们通常所说的“资优”其实是个人造的概念,资优生的标准,也是人为界定的。但人脑是个黑箱子,一个人的潜力有多少,很难精确地测试出来。智商测试好的人,不见得数学才能就高。所以,我们很难预先就断定这个孩子有没有数学天赋。
我们在选学生的时候,一般不会、也不敢用“5%”这样的比例来做划分,更倾向于把范围放宽一点。有中等以上的数学能力,有高度的执著精神,再加上比较好的创造力,就具备了好的发展的基础,这是美国非常著名的“资优三环”理论
所以说,我觉得其实中等偏上的学生,都可以用数学竞赛的内容去对他进行教育和引导。
当然,如果上升到竞技层面,要用竞赛给自己贴标签,那么千里挑一水平的学生,和二十里挑一的学生,也是不太一样的。而且不同的资优生天赋特点也不一样,比如说以下几个例子:
1)看体育比赛,孩子瞬间就把比赛的得分或成绩记住了,过两天问还能说出来。
2)只要教过孩子乘除法,马上知道这个数字怎么分解质因数,或者一看到数字就反应出这是一个平方数。
3)去商场有很多路,孩子能通过对比找到最近的一条路。
4)孩子有一些很奇怪的习惯,比如说一直在房间里走来走去,然后突然间一屁股坐到床上。
5)孩子解题时经常有非常奇特的解法,而且也能自洽。
如果要做解读,那前两种说明这个孩子对于数字非常敏感,第三种说明孩子有很强的优化意识,第四种说明孩子能沉浸在自己的思维世界中,最后一种说明孩子有着很强的创造力。
当然,并不是说要拿这些去对号入座,更不是说孩子没有这些表现就是没天赋。我想说的是,越高水平的孩子越容易在平时给你一些意外惊喜。这些惊喜不需要每天都发生,但家长们要有心留意。
另外,在观察小朋友的时候,也不要定死在数学上,可能一个数学只能打到联赛水平的孩子,在别的比赛上会是国家队级别的。
当然,惊喜有时候也会带来困扰,因为有时候孩子说的东西你都听不懂,到底是说胡话,还是真的有天才,家长不好判断,这个时候我想最好是有专业人士稍微来判别一下。
另外,数学有天赋也并不代表会偏科。比如今年国家队的邓明扬同学,除了数学厉害以外,信息学也是高手,前两年的金牌选手俞辰捷非常全面发展,他的文笔好到甚至让人忘了他在数学上的天分。
我想,资优生的特征是开放性的,不是封闭的标准。
Q2:能做难题,是不是就有数学天赋?
A:目前国内的检测手段还是比较单一的,而且更多以竞赛为导向。因为竞赛确实是一个能够鉴别数学才能的比较好的手段。最基本的办法,就是出一张比较难的卷子,然后看做的怎么样?
这里重点说一说“比较难”这三个字,其实也是分不同情况的:
第一种:你今年6年级,那我出个8年级的内容,也就是我们所说的“超前”
第二种:你是6年级,那我也出6年级的内容,只不过我会多绕几个弯。也就是我们所说的“复杂度”
第三种:你是6年级,我出2年级的内容,但对思维要求非常高,这就往往是在看思维的深度、灵活性、独创性等品质了。
体验小题目:请拿一副扑克牌(包含大小王),按如下步骤操作:
1)将扑克牌分成三堆,点出每堆的数量。
2)每堆的数字个位和十位相加,例如如果是15张,就是1+5=6。
3)相加出来的三个数字加到一起,得出一个数字。
4)最后这个数字重复步骤2的方法,个位和十位相加。
重复几次,你会有什么发现?为什么?(提示:这个问题只需要用到2年级知识。)
每年各级各类的数学竞赛,我们都会给孩子们准备一些题目。对于这些题目,我们这些老师会把能想到的所有解法理一遍。可是每年都会有一些孩子,就是能想出和我们不一样的解法,甚至可以大幅简化解法,或作出有价值的推广。
和这些孩子聊,你就会发现,我们定义的“难题”和他们定义的“难题”有时候是不一样的,一道高中数学联赛一试(高中竞赛中比较简单的阶段)的题和IMO的题,我们看来肯定后者更难,但在一些天才学生的眼里,说不定是反过来的。
因此,说到判断孩子数学的上限,第三种看思维深度、灵活性、独创性的题目是非常重要的。它是一种触发机制,这种题目做不出来,并不代表你数学能力一定不行;但是如果能做出来,那很可能就是一个非常有潜力的高手。
别看IMO这样的竞赛级别非常高,但很多人不知道,里面的一些题目不需要用到初中以上的知识,甚至只需要会小学数学就行。
奥数到底该怎么学?
数学才能不同层次
准确定位是关键
Q1:学习奥数、需不需要打基础?
A:奥数真的要说有基础的话,那就是课程标准里要求的这些数学知识。如果课内的知识漏洞太大,肯定是不太适合学奥数的。哪怕你有天赋,如果课内不学好,你的感觉是没法通过概念体系、公式去表达出来的。
而且,奥数也应看作数学教育的一部分,承担育人的功能。按我个人经验,孩子的思维水平只要不是“接近于另一个物种”,课内基础还是第一位的。
但反过来,如果真是“另一个物种”,那他们领悟数学的方式很可能是高度跳跃式、不同于寻常人的,课内按部就班的学习方式一定会对他有所禁锢,反而可能使他无法在适宜的时间得到最好的发展,影响以后的职业道路。比如当今数学界有名的神童陶哲轩,8岁半就已经进入中学学习,9岁已经在旁听大学课程了。
▲2014年陶哲轩(中)获得科学突破奖照片
所以从统计意义上来看,我的建议是先让孩子把课内学好,同时可以拿一些市面上的书看看,或者报一些辅导班,但是报这些辅导班的目的并不是说一定要在辅导班层层晋级,主要是试一下水,去了解一下辅导班在上些什么,然后跟他同水平的班级,或者是不同年级的、不同层次的班级比较一下,结合他自己的感受,在一个够得着的地方找一个目标,让他去发展。这样训练的话会比较合适。
Q2:天赋一般的孩子,该如何学习奥数?
A:认清事实是第一步,不要去和那些天才做比较。我一直觉得很触动的一句话就是“努力决定下限,天赋决定上限。想要打破上限,那么就要耗费巨大的努力,可能你几年的努力,有资质的孩子一个月就捅破了,这也会给孩子带来很大的心理压力。
这里可以给大家一个参考,美国芝加哥大学的学者Usiskin曾经对人的数学才能划分了0-7一共8个层次:
层次0(没有才能):对数学知之甚少的成人。
层次1(基本才能、文化层次):具备作为文化使用功能的基本数学意识的成人。大概相当于6~9年级的知识技能水平。
层次2(荣誉生):这一层次对于勤奋的中学生就可以达到,但需要好的教学指导。达到这个水平其实已经有能力可以读数学专业本科了。
层次3(很棒的学生,美国学生的1%到2%,中国学生的5%):SAT能达到750~800分,AP微积分4~5分的学生。对数学具有洞察力,能找到令人意外的解法,有能力发展成数学专业研究生。要达到这个层次,不仅要勤奋,还需要在常规学习以外进行拓展。对于中国学生而言,大约相当于那5%。
层次4(杰出的学生):万里挑一的水平,有能力做像美国数学邀请赛(AIME)那样的问题,能在数学竞赛中获得优胜,并能和数学家交流。他们每年可能多花500小时在各类数学活动上。
层次5(有产出的数学家):例如数学博士。需要有自己原创性的工作,需要有更多的热爱、勤奋和决心。
层次6(杰出的数学家):能推动自己所在领域的发展,有自己的代表作。
层次7:划时代的伟大数学家,比如牛顿、高斯、欧拉等,或取得“菲尔兹奖”等数学大奖的那些当今数学家。
▲左-右:牛顿、高斯、欧拉
需要说明一下,这里的分层不适用于太低龄的孩子。例如对于一个幼儿园的孩子来说,当前几乎肯定属于层次0,未来变数也很大,谈此分类暂时没有太大意义。而对于接受初等教育的广大青少年而言,这个理论模型中比较适用的是第1-4层。
Usiskin不但做了这个分类,还进一步论述了这8个层次的一些性质:
1)一个学生进入更高层次后的投入,将远高于先前层次的投入。
2)大部分人认为自己将永远停留在现有的层次。
3)相距两个或更多层次的两个人没办法在数学层面相互理解。
4)处在第n层次的人越多,就越会涌现出n+1层次的人。
第三条和第四条告诉我们:孩子学数学时,身边的人并非水平越高越好。最佳状态是身边的人都处在同一水平或者高一个层次,否则反而会影响他的水平提升。
而第一条和第二条其实告诉我们:想要迈入更高层次,先要舍得投入,甚至要放弃一些其他的东西。天赋资质,还是要靠后天的努力、以及身处的环境来兑现的。
但是努力也要讲究方法,比如说,有一个苏联的数学教育家做过研究发现:数学能力强的孩子,可以长时间投入到数学中不疲劳甚至越做数学越有劲;而数学能力差的孩子则出现完全相反的状态,一点都无法投入。
我们大部分的孩子是介于这两者之间的,一般来说达不到“沉浸”在数学里这个水平。所以有的孩子可能做20分钟左右,需要放松一下,吃点东西缓一缓,这“缓一缓”对他们来说是必要的。但是大目标要确定,就是不管你用什么节奏,最终要和自己比,在学识和思维上有所提高。
对于普通资质的学生来说,建立信心、心无旁骛和保持前进节奏很重要,也许如此他的下限可以较顺利地逼近上限,换言之充分兑现了自己的潜力,这样,他就已经成功了,甚至不经意间超出了身边的许多同伴。
Q3:学奥数,需不需超前学习高年级内容?
A:我觉得如果你感兴趣,早接触高级别的数学没什么坏处。
我们还是以陶哲轩来举例,曾经有人对他做过研究,记载了他的学习历程。他七八岁的时候,把中学阶段的题给他已经难不倒他了。然后问他一些大学内容,他有些知道,有些不知道。过一段时间,学者再去考他,有意无意加入一点他之前不知道的内容,却发现,他已经非常熟悉了,很明显他已经刻意去学习过了。就这样,他在不断突破自己的边界。
当然,陶哲轩的上限之高是普通人不能比的,但他的方法类比到一些学有余力的学生身上,却是可行的。
个人建议这个超前不必刻意求早。我自己小时候是用了暑假前的一些时间以及暑假的两个月,把高中数学学完了。如果学习能力稍弱一些,提前学一下高一的内容也是没问题的。另外,在学习高中知识的同时,也可以穿插回去看初中竞赛的内容,找一些比较有挑战性的问题,或者去问一些竞赛班的同学找一些资源试一试水,这样同时在速度和深度上都能有所提升。
另外有一点要强调,我觉得无论对于什么水平的学生来说,自学能力是非常重要的。
我记得我在初二前没有严肃地接触过竞赛,后来老师看我比较有兴趣,成绩也不错,就把我招进竞赛班。当时我的几何比较弱,老师就给了我一本他的几何笔记。我当时如获至宝,就用暑假头和尾两端时间非常用心的学习了一下,几何水平就有突飞猛进的进步。
其实其他的知识也一样,老师都是鼓励我们自学的。老师也会在开学时候来一个评估,看你暑假自学能学到什么程度。
当然,超前学习之前,最好有师兄师姐,能问一下他们的经验,去听一些专题的讲座之类的,这样能保证自学不会跑偏。这些资源,一般好的学校会比较多,如果所在的学校里没有,我建议去接触一些同年级竞赛传统学校的学生或家长,间接地去了解一些信息。

爸妈营上周去丹麦,拜访了乐高总部




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