用这几个问题判断孩子是否有数学天赋

姚远

作者

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今天这篇文章，来源于之前我们请到了一位神秘嘉宾A老师的讲座。

A老师可不是一般人，他有着多年带领国家级别奥数队伍的第一手经验，平时的本职工作也是数学教育研究。对于家长们万分关心的奥数问题，他无疑是提供了一个信息量十足、富有启发性的视角。

在此，我们将讲座的精华做了整理，并分成“奥数到底该不该学”、“如何判断孩子是否适合奥数”、“奥数该怎么学”三部分，以Q&A的形式原汁原味的呈现在大家面前。

我们相信，看了这篇文章，各位家长一定能打消不少对于奥数的困惑与误解，为孩子选定一条合适的数学学习之路。

奥数到底该不该学？

普娃学奥数有用吗

Q1：现在对奥数的评论褒贬不一，那么学奥数对普通孩子真的是弊大于利吗？

A：我们先来定义一下奥数。有的人认为，所谓的“全民奥数”主要指小学阶段的奥数，它并不是真正的奥数，只是“歪门邪道”；也有人认为，奥数本身就是“歪门邪道”，和数学学习以及数学研究没啥关系。

这些说法都有些极端，其实，无论是“小学”奥数、奥数还是数学学习，之间一定是有贯穿性的。如果真要对奥数做个区分，我想可以分为“狭义”和“广义”两种说法：

狭义的奥数：指的是初等数学范围内具有较高水平和挑战性的竞赛（如全国高中数学联赛加试、各国的国家级数学奥林匹克、IMO等）及其相关活动和相关内容。

广义的奥数：培养学生思维的，拓宽他们眼界的一种数学呈现形式，在不涉及高等数学的前提下，提出有一定数学思想和深度的数学问题，供有能力、有聪明才智的学生思考。

需要说明的是，奥数不是“脑筋急转弯”，它和数学当然是有联系的。而且并不是说所有的超出课本又跟数学沾边的，都能够称为奥数。

我之前看到过一道所谓小学奥数题，问怎样画一条直线，把五边形切成两个三角形，答案居然是这样的：

▲你看懂了吗，只要“直线”够粗，切成什么形状都没有问题

你说它是数学题吗？好像是的，但其实数学的成分比较淡，更多的是非数学的趣味，这就不太符合奥数的标准。

但有一点是肯定的，奥数一定是对于学生的创造力、洞察力要求比较高的。对你的思维或数学学习是有发展性帮助的。

Q2：奥数和学校数学到底是什么样的关系？

A：这个问题还是要结合“广义奥数”和“狭义奥数”来讲。

我对高中这块了解更多，我认为高中的奥数和学校数学之间应该是“中等相关”的程度。

从广义、普及的角度说，关联度很高。

我们国家的高中联赛一试的题目，其实是比较亲民的。这些题目里面有相当一部分的题用到的就是我们平时学的知识，会多绕一点弯，对能力要求更高一些，但总体来说课内知识掌握扎实的同学，都可以完成其中较简单的问题，不会完全没方向。

其实低学段的比如希望杯、迎春杯，包括国外的AMC等都是如此，它们的目的还是在普及数学，是对学校数学的加深和灵活化。

▲美国数学竞赛AMC官网

从狭义、竞赛的角度说，关联度较低。

但是，到了高中数学联赛加试这种级别的比赛，不用说课内成绩了，就算是接触数学竞赛时间较长的学生也可能完全懵住，因为它是从竞技、选拔的角度来看的。

另外，虽然两者都是初等数学，但内容上也是有较大不同的。

比如我们竞赛中经常会有离散数学，包括组合数学、初等数论等内容。这些在目前国内的中学教育中并不是重点，但又是很多热门专业，比如计算机、生物研究等必备的。

所以说，竞赛内容也可以是以后想从事理工科工作的学生非常好的补充。

▲离散数学简介

最后再补充一点，学校数学有一个“天花板效应”，比如中考150满分，你的水平本是145，而花初三一整年的时间来把你的成绩训练到148，这其实是有些浪费的。

而且，对于有些孩子来说，题目越简单，对他们其实越不公平。我们所说的教育公平有两层意思：一方面就是每个人都得到均等的发展机会，另一层是每个人得到适合他自己的发展机会。那么对于这样的学生来说，学校的数学显然是满足不到的，所以需要有一些课外的补充。

奥数适合你家娃吗？

几个问题初步判断孩子是否有天赋

Q1：都说只有5%的学生适合学奥数，那么这5%学生都有什么特质？

A：这其实涉及到一个“资优教育”的概念。

首先我们要明确，我们通常所说的“资优”其实是个人造的概念，资优生的标准，也是人为界定的。但人脑是个黑箱子，一个人的潜力有多少，很难精确地测试出来。智商测试好的人，不见得数学才能就高。所以，我们很难预先就断定这个孩子有没有数学天赋。

我们在选学生的时候，一般不会、也不敢用“5%”这样的比例来做划分，更倾向于把范围放宽一点。有中等以上的数学能力，有高度的执著精神，再加上比较好的创造力，就具备了好的发展的基础，这是美国非常著名的“资优三环”理论。

所以说，我觉得其实中等偏上的学生，都可以用数学竞赛的内容去对他进行教育和引导。

当然，如果上升到竞技层面，要用竞赛给自己贴标签，那么千里挑一水平的学生，和二十里挑一的学生，也是不太一样的。而且不同的资优生天赋特点也不一样，比如说以下几个例子：

1）看体育比赛，孩子瞬间就把比赛的得分或成绩记住了，过两天问还能说出来。

2）只要教过孩子乘除法，马上知道这个数字怎么分解质因数，或者一看到数字就反应出这是一个平方数。

3）去商场有很多路，孩子能通过对比找到最近的一条路。

4）孩子有一些很奇怪的习惯，比如说一直在房间里走来走去，然后突然间一屁股坐到床上。

5）孩子解题时经常有非常奇特的解法，而且也能自洽。

如果要做解读，那前两种说明这个孩子对于数字非常敏感，第三种说明孩子有很强的优化意识，第四种说明孩子能沉浸在自己的思维世界中，最后一种说明孩子有着很强的创造力。

当然，并不是说要拿这些去对号入座，更不是说孩子没有这些表现就是没天赋。我想说的是，越高水平的孩子越容易在平时给你一些意外惊喜。这些惊喜不需要每天都发生，但家长们要有心留意。

另外，在观察小朋友的时候，也不要定死在数学上，可能一个数学只能打到联赛水平的孩子，在别的比赛上会是国家队级别的。

当然，惊喜有时候也会带来困扰，因为有时候孩子说的东西你都听不懂，到底是说胡话，还是真的有天才，家长不好判断，这个时候我想最好是有专业人士稍微来判别一下。

另外，数学有天赋也并不代表会偏科。比如今年国家队的邓明扬同学，除了数学厉害以外，信息学也是高手，前两年的金牌选手俞辰捷非常全面发展，他的文笔好到甚至让人忘了他在数学上的天分。

我想，资优生的特征是开放性的，不是封闭的标准。

Q2：能做难题，是不是就有数学天赋？

A：目前国内的检测手段还是比较单一的，而且更多以竞赛为导向。因为竞赛确实是一个能够鉴别数学才能的比较好的手段。最基本的办法，就是出一张比较难的卷子，然后看做的怎么样？

这里重点说一说“比较难”这三个字，其实也是分不同情况的：

第一种：你今年6年级，那我出个8年级的内容，也就是我们所说的“超前”。

第二种：你是6年级，那我也出6年级的内容，只不过我会多绕几个弯。也就是我们所说的“复杂度”。

第三种：你是6年级，我出2年级的内容，但对思维要求非常高，这就往往是在看思维的深度、灵活性、独创性等品质了。

体验小题目：请拿一副扑克牌（包含大小王），按如下步骤操作：

1）将扑克牌分成三堆，点出每堆的数量。

2）每堆的数字个位和十位相加，例如如果是15张，就是1+5=6。

3）相加出来的三个数字加到一起，得出一个数字。

4）最后这个数字重复步骤2的方法，个位和十位相加。

重复几次，你会有什么发现？为什么？（提示：这个问题只需要用到2年级知识。）

每年各级各类的数学竞赛，我们都会给孩子们准备一些题目。对于这些题目，我们这些老师会把能想到的所有解法理一遍。可是每年都会有一些孩子，就是能想出和我们不一样的解法，甚至可以大幅简化解法，或作出有价值的推广。

和这些孩子聊，你就会发现，我们定义的“难题”和他们定义的“难题”有时候是不一样的，一道高中数学联赛一试（高中竞赛中比较简单的阶段）的题和IMO的题，我们看来肯定后者更难，但在一些天才学生的眼里，说不定是反过来的。

因此，说到判断孩子数学的上限，第三种看思维深度、灵活性、独创性的题目是非常重要的。它是一种触发机制，这种题目做不出来，并不代表你数学能力一定不行；但是如果能做出来，那很可能就是一个非常有潜力的高手。

别看IMO这样的竞赛级别非常高，但很多人不知道，里面的一些题目不需要用到初中以上的知识，甚至只需要会小学数学就行。

奥数到底该怎么学？

数学才能不同层次

准确定位是关键

Q1：学习奥数、需不需要打基础？

A：奥数真的要说有基础的话，那就是课程标准里要求的这些数学知识。如果课内的知识漏洞太大，肯定是不太适合学奥数的。哪怕你有天赋，如果课内不学好，你的感觉是没法通过概念体系、公式去表达出来的。

而且，奥数也应看作数学教育的一部分，承担育人的功能。按我个人经验，孩子的思维水平只要不是“接近于另一个物种”，课内基础还是第一位的。

但反过来，如果真是“另一个物种”，那他们领悟数学的方式很可能是高度跳跃式、不同于寻常人的，课内按部就班的学习方式一定会对他有所禁锢，反而可能使他无法在适宜的时间得到最好的发展，影响以后的职业道路。比如当今数学界有名的神童陶哲轩，8岁半就已经进入中学学习，9岁已经在旁听大学课程了。

▲2014年陶哲轩（中）获得科学突破奖照片

所以从统计意义上来看，我的建议是先让孩子把课内学好，同时可以拿一些市面上的书看看，或者报一些辅导班，但是报这些辅导班的目的并不是说一定要在辅导班层层晋级，主要是试一下水，去了解一下辅导班在上些什么，然后跟他同水平的班级，或者是不同年级的、不同层次的班级比较一下，结合他自己的感受，在一个够得着的地方找一个目标，让他去发展。这样训练的话会比较合适。

Q2：天赋一般的孩子，该如何学习奥数？

A：认清事实是第一步，不要去和那些天才做比较。我一直觉得很触动的一句话就是“努力决定下限，天赋决定上限。”想要打破上限，那么就要耗费巨大的努力，可能你几年的努力，有资质的孩子一个月就捅破了，这也会给孩子带来很大的心理压力。

这里可以给大家一个参考，美国芝加哥大学的学者Usiskin曾经对人的数学才能划分了0-7一共8个层次：

层次0（没有才能）：对数学知之甚少的成人。

层次1（基本才能、文化层次）：具备作为文化使用功能的基本数学意识的成人。大概相当于6~9年级的知识技能水平。

层次2（荣誉生）：这一层次对于勤奋的中学生就可以达到，但需要好的教学指导。达到这个水平其实已经有能力可以读数学专业本科了。

层次3（很棒的学生，美国学生的1%到2%，中国学生的5%）：SAT能达到750~800分，AP微积分4~5分的学生。对数学具有洞察力，能找到令人意外的解法，有能力发展成数学专业研究生。要达到这个层次，不仅要勤奋，还需要在常规学习以外进行拓展。对于中国学生而言，大约相当于那5%。

层次4（杰出的学生）：万里挑一的水平，有能力做像美国数学邀请赛（AIME）那样的问题，能在数学竞赛中获得优胜，并能和数学家交流。他们每年可能多花500小时在各类数学活动上。

层次5（有产出的数学家）：例如数学博士。需要有自己原创性的工作，需要有更多的热爱、勤奋和决心。

层次6（杰出的数学家）：能推动自己所在领域的发展，有自己的代表作。

层次7：划时代的伟大数学家，比如牛顿、高斯、欧拉等，或取得“菲尔兹奖”等数学大奖的那些当今数学家。

▲左-右：牛顿、高斯、欧拉

需要说明一下，这里的分层不适用于太低龄的孩子。例如对于一个幼儿园的孩子来说，当前几乎肯定属于层次0，未来变数也很大，谈此分类暂时没有太大意义。而对于接受初等教育的广大青少年而言，这个理论模型中比较适用的是第1-4层。

Usiskin不但做了这个分类，还进一步论述了这8个层次的一些性质：

1）一个学生进入更高层次后的投入，将远高于先前层次的投入。

2）大部分人认为自己将永远停留在现有的层次。

3）相距两个或更多层次的两个人没办法在数学层面相互理解。

4）处在第n层次的人越多，就越会涌现出n+1层次的人。

第三条和第四条告诉我们：孩子学数学时，身边的人并非水平越高越好。最佳状态是身边的人都处在同一水平或者高一个层次，否则反而会影响他的水平提升。

而第一条和第二条其实告诉我们：想要迈入更高层次，先要舍得投入，甚至要放弃一些其他的东西。天赋资质，还是要靠后天的努力、以及身处的环境来兑现的。

但是努力也要讲究方法，比如说，有一个苏联的数学教育家做过研究发现：数学能力强的孩子，可以长时间投入到数学中不疲劳甚至越做数学越有劲；而数学能力差的孩子则出现完全相反的状态，一点都无法投入。

我们大部分的孩子是介于这两者之间的，一般来说达不到“沉浸”在数学里这个水平。所以有的孩子可能做20分钟左右，需要放松一下，吃点东西缓一缓，这“缓一缓”对他们来说是必要的。但是大目标要确定，就是不管你用什么节奏，最终要和自己比，在学识和思维上有所提高。

对于普通资质的学生来说，建立信心、心无旁骛和保持前进节奏很重要，也许如此他的下限可以较顺利地逼近上限，换言之充分兑现了自己的潜力，这样，他就已经成功了，甚至不经意间超出了身边的许多同伴。

Q3：学奥数，需不需超前学习高年级内容？

A：我觉得如果你感兴趣，早接触高级别的数学没什么坏处。

我们还是以陶哲轩来举例，曾经有人对他做过研究，记载了他的学习历程。他七八岁的时候，把中学阶段的题给他已经难不倒他了。然后问他一些大学内容，他有些知道，有些不知道。过一段时间，学者再去考他，有意无意加入一点他之前不知道的内容，却发现，他已经非常熟悉了，很明显他已经刻意去学习过了。就这样，他在不断突破自己的边界。

当然，陶哲轩的上限之高是普通人不能比的，但他的方法类比到一些学有余力的学生身上，却是可行的。

个人建议这个超前不必刻意求早。我自己小时候是用了暑假前的一些时间以及暑假的两个月，把高中数学学完了。如果学习能力稍弱一些，提前学一下高一的内容也是没问题的。另外，在学习高中知识的同时，也可以穿插回去看初中竞赛的内容，找一些比较有挑战性的问题，或者去问一些竞赛班的同学找一些资源试一试水，这样同时在速度和深度上都能有所提升。

另外有一点要强调，我觉得无论对于什么水平的学生来说，自学能力是非常重要的。

我记得我在初二前没有严肃地接触过竞赛，后来老师看我比较有兴趣，成绩也不错，就把我招进竞赛班。当时我的几何比较弱，老师就给了我一本他的几何笔记。我当时如获至宝，就用暑假头和尾两端时间非常用心的学习了一下，几何水平就有突飞猛进的进步。

其实其他的知识也一样，老师都是鼓励我们自学的。老师也会在开学时候来一个评估，看你暑假自学能学到什么程度。

当然，超前学习之前，最好有师兄师姐，能问一下他们的经验，去听一些专题的讲座之类的，这样能保证自学不会跑偏。这些资源，一般好的学校会比较多，如果所在的学校里没有，我建议去接触一些同年级竞赛传统学校的学生或家长，间接地去了解一些信息。

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