探寻解三角形中的最值问题，提升学生的数学逻辑推理核心素养

摘要

本文探讨了解三角形中由于未知数的变化而出现的三种类型的最值问题，利用正弦定理与余弦定理的等价性出发，分别利用正弦定理与余弦定理对其进行求解论证，理清正弦定理与余弦定理之间的内在联系，培养学生的数学逻辑推理能力核心素养。

关键词

最值问题；正弦定理；余弦定理；数学逻辑推理

问题提出

新高考以来，解三角形在高考中一个重要的基础题型，重点考察方程的思想。该题也可以通过增设未知数个数而转变成函数问题，设问一般围绕着该三角形边长的取值范围或面积的取值范围开展。很多学生碰到该类问题的时候，往往找不到加解题的方向，导致得分偏低。下面本人从2019年全国Ⅲ卷理科数学的第18题谈起，探寻解三角形中的边长与角度之间的“源”与“流”，从而为解三角形的学习形成一个较为整体的观念。

试题呈现

解法探究

问题拓展

对于解三角形的最值问题，我们通过未知条的变化，大体可以归结为三类：①已知一个角和其一条邻边求范围的问题，②已知一个角和其一个对边求范围的问题，③已知两条边求范围的问题。从2007年的新高考以来，我们发现第一类问题在近两年有出现，分别是2018年江苏卷和2019年全国Ⅲ卷。第二类问题历年高考出现的频率较多，但很多学生只是停留在用基本不等式求最值，而从正弦定理与余弦定理方面来探讨的较少。第三类问题全国卷暂时没有出现过，不过也值得去探讨。下面我们通过两个例题来探讨其中的最值问题。

方法总结

对于解三角形问题的最值问题，一般是通过对正弦定理与余弦定理为桥梁，通过知二求二的问题形式呈现，这类问题基本上都可以从函数的角度来考虑求解。如果题目限定了条件，比如三角形为锐角三角形，我们可以从边和角的关系分别去确定角度的取值范围，从而得到最值的范围。