数学中的“拓扑”到底是什么？

wuday8 2019-10-04

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“拓扑”是我们常常会听见一个数学名词，乍听起来，它好像是一个很“玄”的东西，但实际上它并不神秘，“拓扑”已经成为一种再基本不过的数学结构和数学语言，没有这样的基本结构，就不可能有今天的数学。那么，“拓扑”到底是一种怎样的数学概念呢？

拓扑结构

从定义上来说，拓扑是赋予在集合上的数学结构，在满足规定的三条公理后，这个集合连同这个结构就成为一个拓扑空间，这个结构就被称为“拓扑”。也就是说，“拓扑”是人为规定出来的一种结构，它的基本组成元素是所谓的“开集”。可以看到，这样原始的拓扑是非常宽松的，它并没有给集合太强的约束，在这种情况下，集合上的拓扑结构往往非常多，其中最简单的拓扑由两个元素组成，也就是空集和集合本身，这种拓扑称为“最粗”的拓扑，相对的，就有“最细”的拓扑，它由集合的所有子集组成。显而易见的是，这两种拓扑都是满足拓扑公理的。

欧式空间是我们非常熟悉的空间，它带有一个普通的欧式距离结构，这种距离也就是平常我们所接触的空间距离。欧式空间这样重要的空间显然应该成为一个拓扑空间，那么它的拓扑结构是怎么样的呢？对于距离空间而言，它拥有一个由距离所诱导出来的拓扑结构，以一维欧式空间直线为例，它在距离拓扑下的开集就是开区间，闭集就是闭区间，这样的拓扑对于距离空间而言是非常自然的，它常常被称为距离拓扑。

对于一个集合来说，如果它没有任何附加的结构，那么就很难在上面进行数学操作，因为这样的集合太松散了，以至于几乎无法讨论。所以我们需要对集合赋予结构，也就是加上一些约束条件，使得它可以成为数学活动的舞台，而拓扑就是这样一种基本的结构。除了拓扑之外，当然还有其他许多重要数学结构，例如群结构，对集合规定运算并使得元素满足一些条件后，它就成为了一个群。

给定一个拓扑空间后，我们就要研究它的性质，因而有了紧集，稠密性，连通性等概念。而仅仅研究一个拓扑空间显然是不够的，有了不同的拓扑空间之后，首先关心的问题是它们有什么区别。拓扑学这门学科所关注的是空间在连续变化下保持不变的性质，也就是所谓的拓扑不变量，在这种情况下，我们不再关心空间的具体形状，如果一个空间可以由另一个空间连续变化而来，那么应该将它们视为同一个东西，这也就是“同胚”的概念，典型的例子就是咖啡杯可以连续变化为类似于甜甜圈的圆环。而著名的庞加莱猜想就是单连通闭三维流形的同胚分类问题。

在学习微积分时，我们都知道函数的连续性是由“δ-ε”语言所严格定义的，但实际上，它完全被包含在了拓扑范围内。两个拓扑空间之间映射的连续性被定义为：如果开集的原像为开集，那么映射连续。可以看到，“δ-ε”语言完全就是这种拓扑语言的特例，而微积分所关心的不过是欧式空间而已。有了拓扑之后，我们所能研究的空间范围就大大地扩展了，例如函数本身也能构成拓扑空间，这些空间就成为了泛函分析的研究对象。

说了这么多，“拓扑”可能看起来还是很抽象，但从本质来看，“拓扑”的本质仍然在几何的范畴之内，但与传统的几何不同，“拓扑”将空间实体抽象成为了没有形状和大小的“点”，从而极大地拓展了“空间”这个概念。

拓扑学

最后我们再来看看“拓扑学”这门数学学科。拓扑是Topology的音译，它原本的意思是地形地貌，后来被赋予了“位置分析”的内涵。最早提出“位置分析”这种数学思想的是莱布尼茨，而拓扑学的真正起源恐怕要追溯到欧拉关于著名的“七桥问题”的研究。

拓扑学发展到今天，形成了点集拓扑学和代数拓扑学两大分支，前者又称一般拓扑学，它来源于康托关于集合论的工作，在弗雷歇和豪斯多夫给出了许多严格定义的概念以后，公理化的一般拓扑学才正式得以发展，这样的数学思想在波兰学派关于泛函分析和苏联学派关于函数空间的工作中得以发扬光大，后来法国布尔巴基学派进一步扩充了这一领域的内容，基本形成了今天点集拓扑学的面貌，许多经典的数学内容利用拓扑重新解释以后变得更加清晰。

而代数拓扑学的创始人则是伟大的庞加莱，他创造性地将代数学的方法引进了拓扑学的研究中。来自拓扑本身的方法是非常稀少的，所以利用强有力的代数方法来研究拓扑是势在必行的。庞加莱定义了如今被称为同调群和基本群的基本代数拓扑不变量，而后随着数学发展，代数拓扑逐渐分成了“同伦论”和“同调论”两大分支。简单来说，拓扑空间之间的映射是同伦的当且仅当其中一个可以连续变化为另一个，更进一步，映射的同伦关系实际上是等价关系，这些映射于是就被分为了不同的等价类。研究拓扑空间和映射的同伦分类就是同伦论的基本内容，它的基本代数工具是同伦群，而例如著名的庞加莱猜想，它本质上就是同伦论中的一个难题。

从目的上来说，同调论同样是要构造拓扑不变量，但同调所描述的关系就没有同伦那样强烈的几何直观意义，但好处在于摆脱过多的几何直观后，可以更加完全地利用代数方法。而且从当今的研究来看，同调论几乎占据了主导地位，其中一个原因可能在于一般情况下同调群比同伦群更容易计算，也就更容易获得拓扑空间的性质。

最后说一下微分拓扑，有些时候它被称为是拓扑学的第三个分支，但从本质来说，它的方法并没有超出同伦论和同调论的范围，只不过它的研究对象更加特殊。拓扑空间本身非常一般，所以为了更好地适用于某些情况，还要加上一些限制，微分结构就是其中一种，加上这种结构后，拓扑空间就成为了“微分流形”，这就是微分拓扑的研究对象，同样地，微分拓扑的目的仍然是寻找拓扑不变量，不过这里是在微分同胚下的不变量。例如黎曼几何，它研究的就是黎曼流形，也即带有黎曼度量的微分流形，这实际上就是传统的欧式几何的推广，在欧式几何里，那个流形就是欧式空间，度量就是普通的欧式度量。