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前N个自然数的立方和等于其和的平方, 该如何理解几何意义?

2019-10-07  苏心阁

这是一个数学定理——“前N个自然数的立方和,等于前N个自然之和的平方”。

恒等式表示为1^3+2^3+3^3+…+n^3=[1+2+3+……+n]^2。

要证明该定理并不难,最简单的就是利用数学归纳法,来证明自然数立方和公式为:

1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n(n+1)/2]^2;

而后者,正是前n个自然数之和再平方。

不妨我们来看看该公式的几何意义,如下图:

(1)第一步:就是一个面积为1的小正方形;

(2)第二步:大正方形的边长增加了2,可以看出,总面积增加了2个边长为2的正方形面积;

(3)第三步:大正方形的边长再次增加了3,可以看出,总面积增加了3个边长为3的正方形面积;

(4)第四步:大正方形的边长再次增加了4,可以看出,总面积增加了4个边长为4的正方形面积;

(5)第五步:大正方形的边长再次增加了5,可以看出,总面积增加了5个边长为5的正方形面积;

(3)第六步:大正方形的边长再次增加了6,可以看出,总面积增加了6个边长为6的正方形面积;

……

该正方形无限下去,我们很容易得出,大正方形的面积S:

S=(1+2+3+4+……n)^2

=1+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+……n^3;

注:该解释只是给出了自然数立方和的其中一个几何意义,理解起来容易,但是不作为严谨证明。

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