-01-拉马努金恒等式2016年4月8日在英国上映了一部名叫《知无涯者》的电影。电影讲述了印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887.12.22~1920.4.26）， 短暂而传奇的一生。拉马努金出生贫寒，没有受过专门的数学训练，但天资聪颖，完全靠自学。直到1913年，得到英国数学家哈代的赏识，他的数学才华大放异彩。但他不同于传统意义上数学家，他的成果往往是凭直觉得到，只有结论，而没有证明。他短暂的一生发现了3900条数学公式和命题，许多结果完全是新颖的、原始的和非传统的，但被后续证明他的结论都是正确的。 本文要介绍的这个恒等式，就是拉马努金流传最广的成果之一。先看这个恒等式的一边： 我相信大多数人能按照这个式子的规律接着写下去，但会发现这是无穷尽的，并且很好奇这个式子的结果到底是多少？ 拉马努金说，这个式子的结果等于3。 他对形如上式的无穷二次根式，进行深入研究得到这个结果，并且将此发表在《印度数学会刊》上征集证明，数月内无人能应。 -02-拉马努金恒等式的数学逻辑下面我们以今天中学生的认知来看其中的数学逻辑： 3=√9。。。。。一层根号 =√1+8 =√1+2x4 =√1+2√16。。。。二层根号 =√1+2√1+15 =√1+2√1+3x5 =√1+2√1+3√25。。三层根号 =√1+2√1+3√1+24 =√1+2√1+3√1+4x6 =√1+2√1+3√1+4√36。四层根号 。。。。。。 由此不难发现：将3拆分后，含n层根号时，3= √1+2√1+。。。n√（n+2）² 。。。n层根号 验证一下，n=10时（由外向内数，含10层根号），壮观景象： 第10层根号里的数： 12²=144； 第9层根号里的数： 11²=121； 第8层根号里的数： 10²=100； 。。。 第3层根号里的数： 5²=25； 第2层根号里的数： 4²=144； 第1层根号里的数： 3²=9； √9=3 理所当然是个恒等式。 -03-拉马努金恒等式的数学证明问题来了，正整数3可以象这样用二次根式进行无穷拆分，那么其他正整数呢？他是怎么想到了呢？ 平方差公式是初中代数中的最基本的公式之一： a²-1=(a-1)(a+1)； 变形得 a²=1+(a-1)(a+1)； 即 a=√1+(a-1)(a+1)。 建立一个关于a的函数： F（a）=a=√1+(a-1)(a+1)，则 F（a+1）=a+1 =√1+(a+1-1)(a+1+1) =√1+a(a+2) =√1+aF(a+2)， F（a+2）=a+2 =√1+(a+2-1)(a+2+1) =√1+(a+1)(a+3) =√1+(a+1)F(a+3), F（a+3）=a+3 =√1+(a+3-1)(a+3+1) =√1+(a+2)(a+4) =√1+(a+2)F(a+4)， ... F（a+n）=a+n =√1+(a+n-1)(a+n+1) =√1+(a+n-1)F(a+n+1)， ... 通过层层嵌套，得到 F(a)=√1+(a-1)F(a+1) =√1+(a-1)√1+aF(a+2) =√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)F(a+3) ... =√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)√1+(a+2)√1+。。。 即 其中，a为正整数。 当a=2时，得到 当a=3时，得到 当a=4时，得到 由此，可以把任意一个正整数，用二次根式有规律地无穷展开。 所以拉马努金恒等式，更一般的形式是： -04-结语利用平方差公式和函数嵌套（复合函数）的思想，可以来说明他的正确性。虽然初中不提函数嵌套（复合函数）这种说法，但“整体思想”已经具备其雏形，所以上述证明过程，数学程度稍好的同学也可以看懂。 拉马努金没有受过正规的高等数学教育，但他靠自学沉湎于数论，尤其钟爱涉及π、质数等数学常数的求和公式和整数分拆。特别是他对数的直觉（数感）常常令人称奇，以至于亦师亦友的哈代感叹说：“我们学习数学，拉马努金则发现并创造了数学。” |
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