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密率作为中国古算名 任一个圆的圆周长与它的直径之比都等于一个固定的常数，这个常数就是圆周率，通常用π表示。圆周率是一个无理数，也就是一个无限不循环小数，因而用有限小数和分数都不能准确地表示它，只能表示出它的近似值。自古以来，世界各国数学家不断进行艰辛研究，使圆周率愈益计算精确。圆周率的日益精确程度成为世界各国各个时代数学才能的量度标志 。  祖冲之 南朝宋、齐时期大科学家祖冲之(429-500)在宋大明五年(461)任南徐州从事史时，刻苦钻研数学，在前人研究成果的基础上更开密法算出圆周率的过剩和不足近似值是8位有效数字，圆周率的真值在朒数和盈数之间，即3.1415926<π><3.1415927。祖冲之因此成为世界上第一个把π数值推算到小数点后第7位数字的人。祖冲之还给出π的两个近似分数值： 密率=355/113(≈3.14159292，精确到小数点后第6位)，约率=22/7(≈3.14285714，精确到小数点后第2位)。密率355/113是祖冲之在数学史上作出的杰出贡献。在西方，直到15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家韦达才算得355/113这一数值，比祖冲之晚1000多年，因此日本数学史家三上义夫主张将355/113这一数值称为“祖率”。祖冲之的密率是如何算得的，史书未见记载，相当多的中国数学史学家认为祖冲之继续应用了魏晋时数学家刘徽用割圆术来计算圆周率的方法。据此推断，祖冲之要算到圆内接正12288边形和正24576边形面积，才能得到准确到小数点后7位数的圆周率 。 基本介绍密率(density)是数论中的一个重要概念，是与哥德巴赫猜想及华林问题有关的概念。给定整数的集合A：a=a，a，a，…，a，…，其中a  密率 则0≤A(n)≤n，而0≤A(n)/n≤1，A(n)/n(n=1，2，…)的下确界称为A的 密率，记为d(A)，即  密率 例如，集合A={0，2，4，6，8，…}的密率d(A)=1/2，集合A={1，3，5，7，…}的密率d(A)=1/2；而集合A={0，1，2，3，4，5，…}的密率d(A)=1 。 密率的简单性质从密率的定义可得到它的一些简单性质： 1.若集合A不包含1(当a>1)时，d(A)=0； 2.若a=1+r(n-1)(即A从a起，是以1为首项，r为公差的等差数列)，则d(A)=1/r； 3.每一个等比数列所成集合的密率是0； 4.所有完全平方数组成的集合，密率是0； 5.如果d(A)=0，而A包含1，则对任给的ε>0，一定可找到N≥1，使得A(N)<εN；> 6.集合A包含自然数全体的充分必要条件是  密率 7.设A，B是两个数集，令A+B={a+b|a∈A，b∈B}(数论中集合相加均按此定义)，则d(A+B)≥d(A)+d(B)-d(A)·d(B)，更一般地有  密率 此即由施尼雷尔曼(Л.Г.Шнирельман)于1930年引入的施尼雷尔曼不等式。 8.若d(A)+d(B)≤1，则d(A+B)≥d(A)+d(B)，一般地，当  密率 时，有  密率 这就是兰道不等式。1931年，兰道(E.G.H.Landau)猜想有上述不等式成立，但直到1942年才由曼(H.B.Mann)给出证明。1954年，凯皮尔曼(Kemperman)给出了一个新的简单的证明 。 |
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