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问题：1厘米的长度比1平方厘米的面积小？ 三年级学生在学习“面积”这一内容时，对下面的判断题产生了疑惑: 1厘米的长度比1平方厘米的面积小。（ ） 班级学生持有两种观点：一类学生认为这句话是错误的，因为厘米和平方厘米是两种不同的计量单位，就像身高和体重一样，无法进行大小或长短的比较。另一类学生认为这句话是正确的，因为在之前认识面积时，我们摸出的物体的面也包括这个面上的边。 分析：学生产生认识上的分歧的原因是什么呢？ 1 角度不同 认为错的学生是站在数学学科知识的角度解释，只有长度与长度或者面积与面积这样的同类量之间才有大小或长短的相差关系，而不能用相差关系来描述长度与面积这两个不同类量。而认为对的学生是站在生活经验的角度，从摸面的感性经验可知，摸出的面包含其中的边，所以认为“1厘米的长度比1平方厘米的面积小”这句话是对的。 2 生活经验感性认识与数学知识本质理性认识的冲突 判断题中的1厘米和1平方厘米实指两个平面图形，即一维图形“线段”和二维图形“正方形”，数学上的“正方形”与生活中的“面”有很强的一致性，而数学上的“线段”与生活中的“线”（或是“边”）有本质的不同。所以，细细想来，认为错误的学生问题出在二年级认识线段时，对线段的核心本质认识不到位所致。 “线段”是对生活中线（或边）的抽象，生活中的“线”有宽度、有厚度、有长度，而将其数学化处理，抽象成“线段”后只保留长度这一本质属性，排除了厚度、宽度等一些非本质的属性，也就是不考虑其粗细，所以数学中的“线段”就不存在面。其实平面图形与生活物体中的“平面”亦是如此，生活中的“平面”有宽度、长度、厚度，而抽象成平面图形后只保留其长度和宽度，排除了厚度这一非本质属性。所以对“1厘米的长度比1平方厘米的面积小”这句话的分析，仅限于对长度与面积的比较，而这两者是不同角度的度量单位，自然没有可比性。 那么还有一个问题，教高年级的老师会说道：数学上不是有点动成线，线动成面一说吗？线动成面不正佐证了面是由线构成的吗？既然如此，线比面小不是可以说得通吗？而且还列举了生活中织布现象为例来形象说明。没错，我们从织布现象是可以看出面是由线构成，是可以说线比面小，或者说1厘米长的毛线比1平方厘米的布小，这里是把生活中的毛线和布进行对比，毛线和布是同一属性的物体，它们都有长度、宽度、厚度，属于同一类量，自然可以表示大小关系。而判断题“1厘米的长度比1平方厘米的面积小”这里是对纯数学概念的对比，是对“线段”和“正方形”的对比，不同于对生活中毛线与布的对比，这里只考虑“线段”和“正方形”的本质属性，即长度和面积，而这两者是不同类量，不能用相差的多少来表示它们之间的关系。 教学上的灵活处理 上述的理性分析，只能说明“1厘米的长度比1平方厘米的面积小”这句话是错误的，如何让学生真正认可这样的认识，我以为，在学生自主建构的过程中，教师要帮助学生明晰“厘米”与“平方厘米”的区别，其实也就是“长度”与“面积”的区别，但不必过于深入，只要让学生有一个直观的认识即可。教学中，可以出示如下练习： 下面的哪个图形表示1厘米，哪个图形表示1平方厘米？先填一填，再说说他们有什么不同？ 通过练习要帮助学生达到三个层面的认识，1.图形不同。表示1厘米的图形是线段，表示1平方厘米的图形是正方形。2.计量单位的不同。厘米是长度单位，平方厘米是面积单位。3.使用上的不同。厘米是用来度量物体或图形长短的，平方厘米是用来计量物体表面或封闭的平面图形面的大小的。从这三个层面帮助学生认识到，这两个不同的计量单位。 这种抽象出来的概念，对于学生来说，认识上存在一定难度。所以，教学中除了可以把问题直接呈现，引发学生的思考，教师还可以引导学生说说自己还知道哪些不同的计量单位，它们可不可以进行比较，谈谈自己的想法，从而让学生认识到不同的计量单位是无法进行比较的。 参考文献 [1]欧几里得.几何原本[M].兰纪正，朱恩宽，译.西安：陕西科学技术出版社，1990. [2]史宁中主编.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.5 南京江宁开发区学校 贾敏 |
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