名师系列 | 由一道高考真题初探一类“碗状”函数最值

作者：张莉，江苏省丹阳市吕叔湘中学。

一、文章摘要

绝对值函数是高中数学中十分重要的一类函数，难度较大，令许多学生感到困惑和难以理解掌握。解决此类问题的常规策略是分类讨论，但随之而来的是繁琐的计算，如何简化解题过程，尽量规避繁琐的计算过程是我们本文要深入研究的问题。

二、试题呈现

2014年全国高考安徽卷理科第8题

问题的提出很简单，但这是一道可以由特殊到一般的问题，为数学研究性学习提供了绝好的素材，同时，在探究过程中可以体验探究性学习的思考方法、思维过程，以及感悟逻辑推理的魅力。笔者从引例解法、本质、拓展、应用四个方面展示引例的研究性学习过程。

三、解法探究

解法1：分类讨论

评注：解法1旨在消除绝对值的背景，化归转化为分段函数求解。

解法2：几何意义

评注：解法2利用绝对值的几何意义，但巧在等号同时成立。

解法3：局部绝对值不等式

评注：解法3局部使用绝对值不等式，其实是解法2的代数化

解法4：代入验证

评注：解法4是根据题型（选择题）的特点，借助选择支进行排除.但其解法仍然是在就题论题，并不通畅，这类题目的一般性解法是值得思考的问题。

四、本质探究

函数f(x)=|x+1|+|2x+a|其命题本质就是利用绝对值进行包装的分段函数，令|x+1|=0，则x=-1；令|2x+a|=0，则x=-a/2。采用零点分区域的办法，不难得到函数f(x)的图像。图1所示的是图像的各种情况，由图形便可直观地得到一些初步结论。

点评：可见，绝对值函数f(x)两侧折线的斜率互为相反数，且两侧折线无线向上延伸，中间下凹，图像形似碗状，我们形象地把这类函数称之为“碗状”函数。

五、一类“碗状”函数最值的探究

六、探究成果的运用

评注：此题利用“碗状”函数作为背景，考查了学生对于函数概念的理解，线性规划的内容，同时体现了数形结合和转化与化归的数学思想.对学生的思维能力作了充分的考查。

七、文章小结

“碗状”函数的性质不止这些，对于系数bi既有正数，又有负数的情形，也有一般的性质，本文意在抛砖引玉，有兴趣的读者可以研究一下。